インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）リング（環）の定義
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）リング（環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*\mathbb{Z} / n\): \(= \text{ 当該インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群） }\)で、下で指定されるマルチプリケーション（乗法）を持つもの、\(\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall [z_1], [z_2] \in \mathbb{Z} / n ([z_1] [z_2] = [z_1 z_2])\)
//
2: 注
当該マルチプリケーション（乗法）はウェルデファインド（妥当に定義されている）であることを見よう。
それは、\([z_1 z_2]\)は代表たち\(z_1, z_2\)に依存しないという問題である。
\(z'_1, z'_2 \in \mathbb{Z}\)は、\([z_1] = [z'_1]\)および\([z_2] = [z'_2]\)である任意のものたちであるとしよう。それが意味するのは、\(z'_1 = z_1 + l_1 n\)および\(z'_2 = z_2 + l_2 n\)。\([z'_1 z'_2] = [(z_1 + l_1 n) (z_2 + l_2 n)] = [z_1 z_2 + n (z_1 l_2 + l_1 z_2 + l_1 l_2 n)] = [z_1 z_2]\)。
\(\mathbb{Z} / n\)は本当にコミュータティブ（可換）リング（環）であることを見よう。
当該オペレーションは閉じている、なぜなら、\([z_1 z_2] \in \mathbb{Z} / n\)。
\([1]\)はアイデンティティ（単位）要素である: \([1] [z] = [1 z] = [z]\)および\([z] [1] = [z 1] = [z]\)。
当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である: 各\([z_1], [z_2], [z_3] \in \mathbb{Z} / n\)に対して、\(([z_1] [z_2]) [z_3] = [z_1 z_2] [z_3] = [z_1 z_2 z_3] = [z_1] [z_2 z_3] = [z_1] ([z_2] [z_3])\)。
当該アディション（加法）および当該マルチプリケーション（乗法）はディストリビューティブ（分配的）である: 各\([z_1], [z_2], [z_3] \in \mathbb{Z} / n\)に対して、\([z_1] ([z_2] + [z_3]) = [z_1] [z_2 + z_3] = [z_1 (z_2 + z_3)] = [z_1 z_2 + z_1 z_3] = [z_1 z_2] + [z_1 z_3] = [z_1] [z_2] + [z_1] [z_3]\); \(([z_1] + [z_2]) [z_3] = [z_1 + z_2] [z_3] = [(z_1 + z_2) z_3] = [z_1 z_3 + z_2 z_3] = [z_1 z_3] + [z_2 z_3] = [z_1] [z_3] + [z_2] [z_3]\)。
したがって、\(\mathbb{Z} / n\)はリング（環）である。
\(\mathbb{Z} / n\)はコミュータティブ（可換）リング（環）である: 各\([z_1], [z_2] \in \mathbb{R} / n\)に対して、\([z_1] [z_2] = [z_1 z_2] = [z_2 z_1] = [z_2] [z_1]\)。
実のところ、\(\mathbb{Z} / n = \mathbb{Z} / (n \mathbb{Z})\)、当該プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）、なぜなら、当該クウォシェント（商）リング（環）に対するマルチプリケーション（乗法）は、本命題内で指定されたマルチプリケーション（乗法）に他ならない。
