2024年12月1日日曜日

875: インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）リング（環）

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インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）リング（環）の定義

話題


About: リング（環）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）リング（環）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
∗Z/n: = 当該インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群） で、下で指定されるマルチプリケーション（乗法）を持つもの、∈{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }
//

コンディションたち:
∀[z1],[z2]∈Z/n([z1][z2]=[z1z2])
//

2: 注


当該マルチプリケーション（乗法）はウェルデファインド（妥当に定義されている）であることを見よう。

それは、[z1z2]は代表たちz1,z2に依存しないという問題である。

z1′,z2′∈Zは、[z1]=[z1′]および[z2]=[z2′]である任意のものたちであるとしよう。それが意味するのは、z1′=z1+l1nおよびz2′=z2+l2n。[z1′z2′]=[(z1+l1n)(z2+l2n)]=[z1z2+n(z1l2+l1z2+l1l2n)]=[z1z2]。

Z/nは本当にコミュータティブ（可換）リング（環）であることを見よう。

当該オペレーションは閉じている、なぜなら、[z1z2]∈Z/n。

[1]はアイデンティティ（単位）要素である: [1][z]=[1z]=[z]および[z][1]=[z1]=[z]。

当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である: 各[z1],[z2],[z3]∈Z/nに対して、([z1][z2])[z3]=[z1z2][z3]=[z1z2z3]=[z1][z2z3]=[z1]([z2][z3])。

当該アディション（加法）および当該マルチプリケーション（乗法）はディストリビューティブ（分配的）である: 各[z1],[z2],[z3]∈Z/nに対して、[z1]([z2]+[z3])=[z1][z2+z3]=[z1(z2+z3)]=[z1z2+z1z3]=[z1z2]+[z1z3]=[z1][z2]+[z1][z3]; ([z1]+[z2])[z3]=[z1+z2][z3]=[(z1+z2)z3]=[z1z3+z2z3]=[z1z3]+[z2z3]=[z1][z3]+[z2][z3]。

したがって、Z/nはリング（環）である。

Z/nはコミュータティブ（可換）リング（環）である: 各[z1],[z2]∈R/nに対して、[z1][z2]=[z1z2]=[z2z1]=[z2][z1]。

実のところ、Z/n=Z/(nZ)、当該プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）、なぜなら、当該クウォシェント（商）リング（環）に対するマルチプリケーション（乗法）は、本命題内で指定されたマルチプリケーション（乗法）に他ならない。

参考資料
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