874: C∞ベクトルたちバンドル（束）およびベーススペース（空間）のサブセット（部分集合）からのセクション（断面）でポイントにおいてCkである、ここで、0<k、ものに対して、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）上におけるCkエクステンション（拡張）がある

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$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）およびベーススペース（空間）のサブセット（部分集合）からのセクション（断面）でポイントにおいて$C^k$である、ここで、$0<k$、ものに対して、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）上における$C^k$エクステンション（拡張）があることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）のセクション（断面）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題を認めている。
• 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションは自然なチャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）および当該ベーススペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）からの任意のセクション（断面）で任意のポイントにおいて$C^k$である、ここで、$0<k$、ものに対して、ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）上におけるある$C^k$エクステンション（拡張）があるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(E,M,\pi )$: $\in \text{ ランク }k\{\text{ の全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}$
$S$: $\subseteq M$
$p$: $\in S$
$s$: $:S\to {\pi }^{-1}(S)\subseteq E$, $\in \{\pi {|}_{{\pi }^{-1}(S)}\}\text{ の全てのセクション（断面）たち }$で、$p$において$C^l$であるもの、ここで、$0<l$
//

Statements:
ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }{V}_p\subseteq M\in \{\text{ the open neighborhoods of }p\},\mathrm{\exists }{s}^{\prime }:V_p\to {\pi }^{-1}(V_p)\in \{\text{ the sections of }\pi {|}_{{\pi }^{-1}(V_p)}\}(s{|}_{S\cap V_p}=s^{\prime }{|}_{S\cap V_p}\wedge s^{\prime }\in \{\text{ the }{C}^l\text{ maps }\})$
$\mathrm{\exists }{V}_p\subseteq M\in \{p\text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\},\mathrm{\exists }{s}^{\prime }:V_p\to {\pi }^{-1}(V_p)\in \{\pi {|}_{{\pi }^{-1}(V_p)}\text{ の全てのセクション（断面）たち }\}(s{|}_{S\cap V_p}=s^{\prime }{|}_{S\cap V_p}\wedge s^{\prime }\in \{\text{ 全ての }{C}^l\text{ マップ（写像）たち }\})$
//

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2: 注

任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）から任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）中への任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるものに対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）に関するある$C^k$エクステンション（拡張）があるという命題、それが要求するのは、コドメイン（余域）は$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）なし、のサブセット（部分集合）であるということ、と比較のこと。その命題がなぜ直接に適用できないかという1つの問題は、$E$は非空バウンダリー（境界）を持つかもしれないということ（$M$が非空バウンダリー（境界）を持つ時）、別の問題は、当該エクステンション（拡張）はセクション（断面）であるように求められるということ、それは、あの命題は保証しない。しかし、本命題の基本的なアイデアはあの命題のそれと同じである: 本命題のおおまかな理由は、$E$はローカルに$U_p\times {\mathbb{R}}^k$であるところ、バウンダリー（境界）は$U_p$部分にのみに存在し得るが、当該エクステンション（拡張）は$U_p$部分に関してアイデンティティマップ（写像）である必要があり（なぜなら、それはセクション（断面）である）、関心事は本当には${\mathbb{R}}^k$部分についてだけである、それはバウンダリー（境界）を持たない、ということ。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $M$の$p$周りのあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）、チャート$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$を持つ、およびインデュースト（誘導された）チャート$({\pi }^{-1}(U_p)\subseteq E,\widetilde{{\varphi }_p})$を取る; ステップ2: コンポーネントたちファンクション（関数）$f:=\widetilde{{\varphi }_p}\circ s\circ {{\varphi }_p}^{-1}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S)}:{\varphi }_p(U_p\cap S)\to \widetilde{{\varphi }_p}({\pi }^{-1}(U_p))$に対して、${\varphi }_p(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{{\varphi }_p(p)}\subseteq {\mathbb{R}}^d$および$f$のあるエクステンション（拡張）$f^{\prime }:U_{{\varphi }_p(p)}\to {\mathbb{R}}^{d+k}$を取る; ステップ3: $f^{\prime }$を変形させて$f^{″}:U_{{\varphi }_p(p)}\to {\mathbb{R}}^k\times {\varphi }_p(U_p)$を得る; ステップ4: $V_p:={{\varphi }_p}^{-1}({\varphi }_p(U_p)\cap U_{{\varphi }_p(p)})$および$s^{\prime }:={\widetilde{{\varphi }_p}}^{-1}\circ f^{″}\circ {\varphi }_p{|}_{V_p}\to {\pi }^{-1}(V_p)$を取る; ステップ5: $s^{\prime }$は諸要件たちを満足することを見る。

ステップ1:

$M$の$p$周りのあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）、チャート$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$を持つ、を取ろう、それは可能である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題によって。

インデュースト（誘導された）チャート$({\pi }^{-1}(U_p)\subseteq E,\widetilde{{\varphi }_p})$を取ろう、それは可能である、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションは自然なチャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。

$s(U_p)\subseteq {\pi }^{-1}(U_p)$、なぜなら、$s$はセクション（断面）である。

ステップ2:

当該コンポーネントたちファンクション（関数）を$f:=\widetilde{{\varphi }_p}\circ s\circ {{\varphi }_p}^{-1}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S)}:{\varphi }_p(U_p\cap S)\to \widetilde{{\varphi }_p}({\pi }^{-1}(U_p))$とする。

${\varphi }_p(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{{\varphi }_p(p)}\subseteq {\mathbb{R}}^d$および$f$のある$C^l$エクステンション（拡張）$f^{\prime }:U_{{\varphi }_p(p)}\to {\mathbb{R}}^{d+k}$がある、なぜなら、それがバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義が要求することである。

ステップ3:

$f^{\prime }:(x^1,...,x^d)\mapsto (f^{\prime 1}(x^1,...,x^d),...,f^{\prime k}(x^1,...,x^d),f^{\prime k+1}(x^1,...,x^d),...,,f^{\prime d+k}(x^1,...,x^d))$と記す。各$f^{\prime j}(x^1,...,x^d)$は$C^l$である。

$f^{″}:U_{{\varphi }_p(p)}\to {\mathbb{R}}^k\times U_{{\varphi }_p(p)},(x^1,...,x^d)\mapsto (f^{\prime 1}(x^1,...,x^d),...,f^{\prime k}(x^1,...,x^d),x^1,...,,x^d)$を定義しよう。

$f^{″}$は明らかに$C^l$である。

$f{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S)}=f^{\prime }{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S)}=f^{″}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S)}$、なぜなら、$f{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S)}(x^1,...,x^d)=f^{\prime }{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S)}(x^1,...,x^d)=(f^{\prime 1}(x^1,...,x^d),...,f^{\prime k}(x^1,...,x^d),f^{\prime k+1}(x^1,...,x^d),...,,f^{\prime d+k}(x^1,...,x^d))=(f^{\prime 1}(x^1,...,x^d),...,f^{\prime k}(x^1,...,x^d),x^1,...,,x^d)=f^{″}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S)}(x^1,...,x^d)$、なぜなら、$s$はファイバープリザービング（維持）であり、$\widetilde{{\varphi }_p}$は${\varphi }_p$からインデュースト（誘導された）である。

したがって、$f^{″}$は$f$の$C^l$エクステンション（拡張）である。

ステップ4:

${\varphi }_p(U_p)\cap U_{{\varphi }_p(p)}\subseteq {\varphi }_p(U_p)$は${\varphi }_p(p)$の${\varphi }_p(U_p)$上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。

$V_p:={{\varphi }_p}^{-1}({\varphi }_p(U_p)\cap U_{{\varphi }_p(p)})\subseteq M$を定義しよう、それは$V_p\subseteq U_p$を満たし、それは$p$のオープンネイバーフッド（開近傍）である。

$s^{\prime }:={\widetilde{{\varphi }_p}}^{-1}\circ f^{″}\circ {\varphi }_p{|}_{V_p}:V_p\to {\pi }^{-1}(V_p)$を定義しよう、それは可能である、なぜなら、$f^{″}{|}_{{\varphi }_p{|}_{V_p}(V_p)}$は${\mathbb{R}}^k\times (U_{{\varphi }_p(p)}\cap {\varphi }_p(U_p))\subseteq {\mathbb{R}}^k\times {\varphi }_p(U_p)=\widetilde{{\varphi }_p}({\pi }^{-1}(U_p))$の中へのものである。

ステップ5:

$s^{\prime }$ is indeed a section, obviously. $s^{\prime }$は本当にセクション（断面）である、明らかに。

$s^{\prime }$は$C^l$である、なぜなら、${\varphi }_p{|}_{V_p}$は$:V_p\to {\varphi }_p(V_p)\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d$として$C^{\mathrm{\infty }}$であり、$f^{″}$は$:U_{{\varphi }_p(p)}\subseteq {\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^{d+k}\text{ または }{\mathbb{H}}^{d+k}$として$C^l$であり、${\widetilde{{\varphi }_p}}^{-1}$は$:{\mathbb{R}}^k\times {\varphi }_p(U_p)\subseteq {\mathbb{R}}^{d+k}\text{ または }{\mathbb{H}}^{d+k}\to {\pi }^{-1}(U_p)\subseteq E$として$C^{\mathrm{\infty }}$であるが、$s^{\prime }$が$C^l$マップ（写像）たちの妥当なチェーン（鎖）であることに対する唯一の懸念は、${\varphi }_p{|}_{V_p}$のコドメイン（余域）に対する${\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d$は、$f^{″}$のドメイン（定義域）に対する${\mathbb{R}}^d$と違うことである、しかし、${\varphi }_p{|}_{V_p}$は${\varphi }_p{|}_{V_p}:V_p\to {\varphi }_p(V_p)\subseteq {\mathbb{R}}^d$とみなすことができ、それは、明らかに、$C^{\mathrm{\infty }}$性を変えない、したがって、$s^{\prime }$は本当に$C^l$マップ（写像）たちの妥当なチェーン（連鎖）であり、$C^l$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

$s^{\prime }{|}_{V_p\cap S}=s{|}_{V_p\cap S}$、なぜなら、$s^{\prime }{|}_{V_p\cap S}={\widetilde{{\varphi }_p}}^{-1}\circ f^{″}\circ {\varphi }_p{|}_{V_p}{|}_{V_p\cap S}={\widetilde{{\varphi }_p}}^{-1}\circ f\circ {\varphi }_p{|}_{V_p}{|}_{V_p\cap S}={\widetilde{{\varphi }_p}}^{-1}\circ \widetilde{{\varphi }_p}\circ s\circ {{\varphi }_p}^{-1}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S)}\circ {\varphi }_p{|}_{V_p}{|}_{V_p\cap S}=s{|}_{V_p}{|}_{V_p\cap S}=s{|}_{V_p\cap S}$。

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参考資料

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