\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）およびベーススペース（空間）のサブセット（部分集合）からのセクション（断面）でポイントにおいて\(C^k\)である、ここで、\(0 \lt k\)、ものに対して、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）上における\(C^k\)エクステンション（拡張）があることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）のセクション（断面）の定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションは自然なチャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）および当該ベーススペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）からの任意のセクション（断面）で任意のポイントにおいて\(C^k\)である、ここで、\(0 \lt k\)、ものに対して、ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）上におけるある\(C^k\)エクステンション（拡張）があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((E, M, \pi)\): \(\in \text{ ランク } k \{\text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq M\)
\(p\): \(\in S\)
\(s\): \(: S \to \pi^{-1} (S) \subseteq E\), \(\in \{\pi \vert_{\pi^{-1} (S)}\} \text{ の全てのセクション（断面）たち }\)で、\(p\)において\(C^l\)であるもの、ここで、\(0 \lt l\)
//
Statements:
ステートメント（言明）たち:
\(\exists V_p \subseteq M \in \{\text{ the open neighborhoods of } p\}, \exists s': V_p \to \pi^{-1} (V_p) \in \{\text{ the sections of } \pi \vert_{\pi^{-1} (V_p)}\} (s \vert_{S \cap V_p} = s' \vert_{S \cap V_p} \land s' \in \{\text{ the } C^l \text{ maps }\})\)
\(\exists V_p \subseteq M \in \{p \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}, \exists s': V_p \to \pi^{-1} (V_p) \in \{\pi \vert_{\pi^{-1} (V_p)} \text{ の全てのセクション（断面）たち }\} (s \vert_{S \cap V_p} = s' \vert_{S \cap V_p} \land s' \in \{\text{ 全ての } C^l \text{ マップ（写像）たち }\})\)
//
2: 注
任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）から任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）中への任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）に関するある\(C^k\)エクステンション（拡張）があるという命題、それが要求するのは、コドメイン（余域）は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）なし、のサブセット（部分集合）であるということ、と比較のこと。その命題がなぜ直接に適用できないかという1つの問題は、\(E\)は非空バウンダリー（境界）を持つかもしれないということ（\(M\)が非空バウンダリー（境界）を持つ時）、別の問題は、当該エクステンション（拡張）はセクション（断面）であるように求められるということ、それは、あの命題は保証しない。しかし、本命題の基本的なアイデアはあの命題のそれと同じである: 本命題のおおまかな理由は、\(E\)はローカルに\(U_p \times \mathbb{R}^k\)であるところ、バウンダリー（境界）は\(U_p\)部分にのみに存在し得るが、当該エクステンション（拡張）は\(U_p\)部分に関してアイデンティティマップ（写像）である必要があり（なぜなら、それはセクション（断面）である）、関心事は本当には\(\mathbb{R}^k\)部分についてだけである、それはバウンダリー（境界）を持たない、ということ。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M\)の\(p\)周りのあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）、チャート\((U_p \subseteq M, \phi_p)\)を持つ、およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_p) \subseteq E, \widetilde{\phi_p})\)を取る; ステップ2: コンポーネントたちファンクション（関数）\(f := \widetilde{\phi_p} \circ s \circ {\phi_p}^{-1} \vert_{\phi_p (U_p \cap S)}: \phi_p (U_p \cap S) \to \widetilde{\phi_p} (\pi^{-1} (U_p))\)に対して、\(\phi_p (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\phi_p (p)} \subseteq \mathbb{R}^d\)および\(f\)のあるエクステンション（拡張）\(f': U_{\phi_p (p)} \to \mathbb{R}^{d + k}\)を取る; ステップ3: \(f'\)を変形させて\(f'': U_{\phi_p (p)} \to \mathbb{R}^k \times \phi_p (U_p)\)を得る; ステップ4: \(V_p := {\phi_p}^{-1} (\phi_p (U_p) \cap U_{\phi_p (p)})\)および\(s' := {\widetilde{\phi_p}}^{-1} \circ f'' \circ \phi_p \vert_{V_p} \to \pi^{-1} (V_p)\)を取る; ステップ5: \(s'\)は諸要件たちを満足することを見る。
ステップ1:
\(M\)の\(p\)周りのあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）、チャート\((U_p \subseteq M, \phi_p)\)を持つ、を取ろう、それは可能である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題によって。
インデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_p) \subseteq E, \widetilde{\phi_p})\)を取ろう、それは可能である、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションは自然なチャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。
\(s (U_p) \subseteq \pi^{-1} (U_p)\)、なぜなら、\(s\)はセクション（断面）である。
ステップ2:
当該コンポーネントたちファンクション（関数）を\(f := \widetilde{\phi_p} \circ s \circ {\phi_p}^{-1} \vert_{\phi_p (U_p \cap S)}: \phi_p (U_p \cap S) \to \widetilde{\phi_p} (\pi^{-1} (U_p))\)とする。
\(\phi_p (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\phi_p (p)} \subseteq \mathbb{R}^d\)および\(f\)のある\(C^l\)エクステンション（拡張）\(f': U_{\phi_p (p)} \to \mathbb{R}^{d + k}\)がある、なぜなら、それがバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義が要求することである。
ステップ3:
\(f': (x^1, ..., x^d) \mapsto (f'^1 (x^1, ..., x^d), ..., f'^k (x^1, ..., x^d), f'^{k + 1} (x^1, ..., x^d), ..., , f'^{d + k} (x^1, ..., x^d))\)と記す。各\(f'^j (x^1, ..., x^d)\)は\(C^l\)である。
\(f'': U_{\phi_p (p)} \to \mathbb{R}^k \times U_{\phi_p (p)}, (x^1, ..., x^d) \mapsto (f'^1 (x^1, ..., x^d), ..., f'^k (x^1, ..., x^d), x^1, ..., , x^d)\)を定義しよう。
\(f''\)は明らかに\(C^l\)である。
\(f \vert_{\phi_p (U_p \cap S)} = f' \vert_{\phi_p (U_p \cap S)} = f'' \vert_{\phi_p (U_p \cap S)}\)、なぜなら、\(f \vert_{\phi_p (U_p \cap S)} (x^1, ..., x^d) = f' \vert_{\phi_p (U_p \cap S)} (x^1, ..., x^d) = (f'^1 (x^1, ..., x^d), ..., f'^k (x^1, ..., x^d), f'^{k + 1} (x^1, ..., x^d), ..., , f'^{d + k} (x^1, ..., x^d)) = (f'^1 (x^1, ..., x^d), ..., f'^k (x^1, ..., x^d), x^1, ..., , x^d) = f'' \vert_{\phi_p (U_p \cap S)} (x^1, ..., x^d)\)、なぜなら、\(s\)はファイバープリザービング（維持）であり、\(\widetilde{\phi_p}\)は\(\phi_p\)からインデュースト（誘導された）である。
したがって、\(f''\)は\(f\)の\(C^l\)エクステンション（拡張）である。
ステップ4:
\(\phi_p (U_p) \cap U_{\phi_p (p)} \subseteq \phi_p (U_p)\)は\(\phi_p (p)\)の\(\phi_p (U_p)\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(V_p := {\phi_p}^{-1} (\phi_p (U_p) \cap U_{\phi_p (p)}) \subseteq M\)を定義しよう、それは\(V_p \subseteq U_p\)を満たし、それは\(p\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(s' := {\widetilde{\phi_p}}^{-1} \circ f'' \circ \phi_p \vert_{V_p}: V_p \to \pi^{-1} (V_p)\)を定義しよう、それは可能である、なぜなら、\(f'' \vert_{\phi_p \vert_{V_p} (V_p)}\)は\(\mathbb{R}^k \times (U_{\phi_p (p)} \cap \phi_p (U_p)) \subseteq \mathbb{R}^k \times \phi_p (U_p) = \widetilde{\phi_p} (\pi^{-1} (U_p))\)の中へのものである。
ステップ5:
\(s'\) is indeed a section, obviously. \(s'\)は本当にセクション（断面）である、明らかに。
\(s'\)は\(C^l\)である、なぜなら、\(\phi_p \vert_{V_p}\)は\(: V_p \to \phi_p (V_p) \subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d\)として\(C^\infty\)であり、\(f''\)は\(: U_{\phi_p (p)} \subseteq \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k}\)として\(C^l\)であり、\(\widetilde{\phi_p}^{-1}\)は\(: \mathbb{R}^k \times \phi_p (U_p) \subseteq \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k} \to \pi^{-1} (U_p) \subseteq E\)として\(C^\infty\)であるが、\(s'\)が\(C^l\)マップ（写像）たちの妥当なチェーン（鎖）であることに対する唯一の懸念は、\(\phi_p \vert_{V_p}\)のコドメイン（余域）に対する\(\mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d\)は、\(f''\)のドメイン（定義域）に対する\(\mathbb{R}^d\)と違うことである、しかし、\(\phi_p \vert_{V_p}\)は\(\phi_p \vert_{V_p}: V_p \to \phi_p (V_p) \subseteq \mathbb{R}^d\)とみなすことができ、それは、明らかに、\(C^\infty\)性を変えない、したがって、\(s'\)は本当に\(C^l\)マップ（写像）たちの妥当なチェーン（連鎖）であり、\(C^l\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
\(s' \vert_{V_p \cap S} = s \vert_{V_p \cap S}\)、なぜなら、\(s' \vert_{V_p \cap S} = {\widetilde{\phi_p}}^{-1} \circ f'' \circ \phi_p \vert_{V_p} \vert_{V_p \cap S} = {\widetilde{\phi_p}}^{-1} \circ f \circ \phi_p \vert_{V_p} \vert_{V_p \cap S} = {\widetilde{\phi_p}}^{-1} \circ \widetilde{\phi_p} \circ s \circ {\phi_p}^{-1} \vert_{\phi_p (U_p \cap S)} \circ \phi_p \vert_{V_p} \vert_{V_p \cap S} = s \vert_{V_p} \vert_{V_p \cap S} = s \vert_{V_p \cap S}\)。
