960: バイジェクティブ（全単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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バイジェクティブ（全単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: フィールド（体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F_1$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$F_2$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$f$: $F_1\to F_2$, $\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\cap \{\text{ 全てのフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全ての'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
//

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2: 注

時々、任意のバイジェクティブ（全単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）をフィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるとする定義が見られるが、それは、良い慣習とは思われない: 'アイソモーフィズム（同形写像）'はカテゴリー理論内で定義された一般的な概念であり、インバース（逆）が当該カテゴリー内でホモモーフィズム（準同形写像）であるよう要求する。

一般には、あるカテゴリーのあるバイジェクティブ（全単射）モーフィズム（射）は必ずしも%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）ではない。例えば、あるバイジェクティブ（全単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）、それは、'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'カテゴリー内のモーフィズム（射）である、は、必ずしも、ホメオモーフィズム（位相同形写像）、それは、'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、ではない。

本命題が成立するがゆえに、一部の人々はバイジェクティブ（全単射）性のみを要求する定義が妥当だと考えるが、本命題が成立するというだけで、カテゴリー理論内で行なわれた一般的な定義が、フィールド（体）のケースに対して歪められるべきということにはならない。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: インバース（逆）$f^{-1}$を取る; ステップ2: $f^{-1}$はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る。

ステップ1:

$f$はバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）$f^{-1}:F_2\to F_1$がある。

ステップ2:

$f^{-1}$が必然的にフィールド（体）ホモモーフィック（準同形写像）であることを見よう。

$F_1$および$F_2$はリング（環）たちであり、$f$は当該リング（環）たち間のバイジェクティブ（全単射）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）である。

任意のバイジェクティブ（全単射）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、$f$は当該リング（環）たち間の'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。したがって、$f^{-1}$は当該リング（環）たち間のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）である。

残った問題は、$F_2$の各要素に対して、$f^{-1}$はそのインバース（逆）をその$f^{-1}$下のイメージ（像）のインバース（逆）へマップするか否かだけである。

$f(r_1)\in F_2$は任意としよう。$f(r_1{)}^{-1}=f(r_1^{-1})$、なぜなら、$f$はフィールド（体）ホモモーフィック（準同形写像）である。$f^{-1}(f(r_1{)}^{-1})=f^{-1}(f(r_1^{-1}))=r_1^{-1}={f^{-1}(f(r_1))}^{-1}$。

したがって、$f^{-1}$はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）である。

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参考資料

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