バイジェクティブ（全単射）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R_1\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(R_2\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(f\): \(R_1 \to R_2\), \(\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\} \cap \{\text{ 全てのリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 注
時々、任意のバイジェクティブ（全単射）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）を'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるとする定義が見られるが、それは、良い慣習とは思われない: 'アイソモーフィズム（同形写像）'はカテゴリー理論内で定義された一般的な概念であり、インバース（逆）が当該カテゴリー内でホモモーフィズム（準同形写像）であるよう要求する。
一般には、あるカテゴリーのあるバイジェクティブ（全単射）モーフィズム（射）は必ずしも%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）ではない。例えば、あるバイジェクティブ（全単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）、それは、'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'カテゴリー内のモーフィズム（射）である、は、必ずしも、ホメオモーフィズム（位相同形写像）、それは、'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、ではない。
本命題が成立するがゆえに、一部の人々はバイジェクティブ（全単射）性のみを要求する定義が妥当だと考えるが、本命題が成立するというだけで、カテゴリー理論内で行なわれた一般的な定義が、リング（環）のケースに対して歪められるべきということにはならない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: インバース（逆）\(f^{-1}\)を取る; ステップ2: \(f^{-1}\)はリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）\(f^{-1}: R_2 \to R_1\)がある。
ステップ2:
\(f^{-1}\)は必然的にリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見よう。
\(R_1\)および\(R_2\)はアディティブ（加法）グループ（群）たちであり、\(f\)は当該アディティブ（加法）グループ（群）たち間のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、\(f\)は当該アディティブ（加法）グループ（群）たち間の'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。したがって、\(f^{-1}\)は当該アディティブ（加法）グループ（群）たち間のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
\(f^{-1} (1) = 1\)、なぜなら、\(f (1) = 1\)および\(1 = f^{-1} (f (1)) = f^{-1} (1)\)。
各\(f (r_1), f (r'_1) \in R_2\)に対して、\(f^{-1} (f (r_1) f (r'_1)) = f^{-1} (f (r_1)) f^{-1} (f (r'_1))\)、なぜなら、\(f (r_1 r'_1) = f (r_1) f (r'_1)\)および\(f^{-1} (f (r_1)) f^{-1} (f (r'_1)) = r_1 r'_1 = f^{-1} (f (r_1 r'_1)) = f^{-1} (f (r_1) f (r'_1))\)。
したがって、\(f^{-1}\)はリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
