フィールド（体）に対して、もしも、フィールド（体）が1の非1プライムナンバー（素数）乗ルート（根）を持てば、ルート（根）はプリミティブルート（根）であることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）に対して、0の任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）に対して、もしも、当該フィールド（体）が1のある非1プライムナンバー（素数）乗ルート（根）を持てば、当該ルート（根）は1のプリミティブ当該ナンバー（数）乗ルート（根）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(p\): \(\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \alpha \in F \setminus \{1\} (\alpha^p = 1)\)
\(\implies\)
\(\forall j \in \{1, ..., p - 1\} (\alpha^j \neq 1)\)
//
2: 注
そういう\(\alpha\)はないかもしれない。例えば、\(F = \mathbb{R}\)および\(p = 3\)である時、\(x^3 = 1\)はただ1つのルート（根）\(1\)を持つ、それは、非1ではない。勿論、もしも、\(F = \mathbb{C}\)と取れば、\(\alpha = e^{2 \pi i / 3} \text{ または } e^{2 \pi i 2 / 3} \in F\)がある。
\(p\)は\(\mathbb{N}\)内のプライムナンバー（素数）であり、\(F\)内のプライムではない: \(\alpha\)の\(F\)のある要素乗を取るというのは意味をなさない; 当該乗は、\(\alpha\)のあるナチュラルナンバー（自然数）回自己積を取るということであり、したがって、当該指数はあるナチュラルナンバー（自然数）である必要がある。
本命題にとって、\(p\)はあるプライムナンバー（素数）である必要がある: もしも、\(F = \mathbb{Q}\)および\(p = 4\)である場合、\(\alpha = -1\)があり、それは、\(\alpha \neq 1\)および\(\alpha^p = 1\)を満たす、しかし、\(\alpha^2 = 1\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\alpha^n = 1\)である最小ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）\(n\)を取る; ステップ2: \(n \lt p\)であると仮定して、矛盾を見つける。
ステップ1:
\(\alpha^n = 1\)である最小ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）\(n\)を取ろう。それは、明らかに存在する、\(1 \lt n \le p\)として。
ステップ2:
\(n \lt p\)であると仮定しよう。
\(\alpha^p = \alpha^n\)。
\(\alpha \neq 0\)、なぜなら、もしも、\(\alpha = 0\)である場合、\(\alpha^q = 0 \neq 1\): 任意のフィールド（体）に対して、0の任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であるという命題によって、矛盾。
したがって、\(\alpha\)はあるインバース（逆）\(\alpha^{-1}\)を持つことになり、\(\alpha^{p - n} = \alpha^p \alpha^{- n} = \alpha^n \alpha^{- n} = 1\)。しかし、\(n\)はそういう最小のものであると仮定されていた、そして、\(n \le p - n\)、しかし、\(n \neq p - n\)、なぜなら、そうでなければ、\(n = p - n\)は\(p = 2 n\)を意味することになる、\(p\)がプライムナンバー（素数）であることに反する矛盾、したがって、\(n \lt p - n\)。しかし、\(\alpha^{p - n} = \alpha^n\)であるから、\(\alpha^{p - 2 n} = 1\)、そして、\(n \lt p - 2 n\): \(n \neq p - 2 n\)、\(p = 3 n\)でないために。 同様に、\(n \lt p - j n\)、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）\(j\)に対して。それは、不可能である、なぜなら、\(p - j n\)はどんどん小さくなるが、\(n\)は固定されている。
したがって、\(n = p\)。
それが意味するのは、\(\forall j \in \{1, ..., p - 1\} (\alpha^j \neq 1)\)、それが、"\(\alpha\)は1のあるプリミティブ\(p\)乗ルート（根）"が意味することである。
