970: フィールド（体）に対して、もしも、フィールド（体）が1の非1プライムナンバー（素数）乗ルート（根）を持てば、ルート（根）はプリミティブルート（根）である

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フィールド（体）に対して、もしも、フィールド（体）が1の非1プライムナンバー（素数）乗ルート（根）を持てば、ルート（根）はプリミティブルート（根）であることの記述/証明

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話題

About: フィールド（体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、任意のフィールド（体）に対して、0の任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）に対して、もしも、当該フィールド（体）が1のある非1プライムナンバー（素数）乗ルート（根）を持てば、当該ルート（根）は1のプリミティブ当該ナンバー（数）乗ルート（根）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$p$: $\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }\alpha \in F\setminus \{1\}({\alpha }^p=1)$
$⟹$
$\mathrm{\forall }j\in \{1,...,p-1\}({\alpha }^j\ne 1)$
//

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2: 注

そういう$\alpha$はないかもしれない。例えば、$F=\mathbb{R}$および$p=3$である時、$x^3=1$はただ1つのルート（根）$1$を持つ、それは、非1ではない。勿論、もしも、$F=\mathbb{C}$と取れば、$\alpha =e^{2\pi i/3}\text{ または }{e}^{2\pi i2/3}\in F$がある。

$p$は$\mathbb{N}$内のプライムナンバー（素数）であり、$F$内のプライムではない: $\alpha$の$F$のある要素乗を取るというのは意味をなさない; 当該乗は、$\alpha$のあるナチュラルナンバー（自然数）回自己積を取るということであり、したがって、当該指数はあるナチュラルナンバー（自然数）である必要がある。

本命題にとって、$p$はあるプライムナンバー（素数）である必要がある: もしも、$F=\mathbb{Q}$および$p=4$である場合、$\alpha =-1$があり、それは、$\alpha \ne 1$および${\alpha }^p=1$を満たす、しかし、${\alpha }^2=1$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: ${\alpha }^n=1$である最小ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）$n$を取る; ステップ2: $n<p$であると仮定して、矛盾を見つける。

ステップ1:

${\alpha }^n=1$である最小ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）$n$を取ろう。それは、明らかに存在する、$1<n\le p$として。

ステップ2:

$n<p$であると仮定しよう。

${\alpha }^p={\alpha }^n$。

$\alpha \ne 0$、なぜなら、もしも、$\alpha =0$である場合、${\alpha }^q=0\ne 1$: 任意のフィールド（体）に対して、0の任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であるという命題によって、矛盾。

したがって、$\alpha$はあるインバース（逆）${\alpha }^{-1}$を持つことになり、${\alpha }^{p-n}={\alpha }^p{\alpha }^{-n}={\alpha }^n{\alpha }^{-n}=1$。しかし、$n$はそういう最小のものであると仮定されていた、そして、$n\le p-n$、しかし、$n\ne p-n$、なぜなら、そうでなければ、$n=p-n$は$p=2n$を意味することになる、$p$がプライムナンバー（素数）であることに反する矛盾、したがって、$n<p-n$。しかし、${\alpha }^{p-n}={\alpha }^n$であるから、${\alpha }^{p-2n}=1$、そして、$n<p-2n$: $n\ne p-2n$、$p=3n$でないために。 同様に、$n<p-jn$、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）$j$に対して。それは、不可能である、なぜなら、$p-jn$はどんどん小さくなるが、$n$は固定されている。

したがって、$n=p$。

それが意味するのは、$\mathrm{\forall }j\in \{1,...,p-1\}({\alpha }^j\ne 1)$、それが、"$\alpha$は1のあるプリミティブ$p$乗ルート（根）"が意味することである。

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参考資料

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