フィールド（体）に対して、もしも、フィールド（体）が1のプリミティブポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持てば、プリミティブルート（根）の1から自然数乗たちがルート（根）たちであることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）に対して、もしも、当該フィールド（体）が1のあるプリミティブポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持てば、当該プリミティブルート（根）の1から当該自然数乗たちが1の当該ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）たち全てであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(R_{1, n}\): \(= \{\alpha \in F \vert \alpha^n = 1\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \omega \in F (\omega^n = 1 \land \forall j \in \{1, ..., n - 1\} (\omega^j \neq 1))\)
\(\implies\)
\(R_{1, n} = \{\omega, ..., \omega^n = 1\}\)
//
\(n = 1\)である時、\(\forall j \in \{1, ..., n - 1\} (\omega^j \neq 1)\)は空虚に真である。
2: 注
そういう\(\omega\)はないかもしれない。例えば、\(F = \mathbb{R}\)で\(n = 3\)である時は、\(x^3 = 1\)は唯一つのルート（根）\(1\)しか持たない、それは、当該コンディションを満たさない: \(x^1 = 1\)。勿論、もしも、\(F = \mathbb{C}\)と取れば、\(\omega = e^{2 \pi i / 3} \in F\)がある。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\{\omega, ..., \omega^n = 1\}\)は互いに異なることを見る; ステップ2: 各々\(\omega^j \in R_{1, n}\)であることを見る; ステップ3: \(R_{1, n}\)内に他の要素はないことを見る。
ステップ1:
\(\{\omega, ..., \omega^n = 1\}\)は互いに異なることを見よう。
\(\omega^j = \omega^k\)、ここで、\(1 \le j, k \le n\)で\(j \le k\)、一般性を失うことなく、だと仮定しよう。
\(\omega \neq 0\)、なぜなら、もしも、\(\omega = 0\)である場合、\(\omega^n = 0\)、任意のフィールド（体）に対して、0の任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であるという命題によって、しかし、\(0 \neq 1\)および\(\omega^n = 0 \neq 1\)、矛盾。
したがって、あるインバース（逆）\(\omega^{-1}\)がある。\(1 = \omega^j \omega^{- j}= \omega^k \omega^{- j} = \omega^{k - j}\)。\(0 \le k - j \lt n\)であるから、\(k - j = 0\)、それが意味するのは、\(k = j\)。
ステップ2:
各\(\omega^j\)、ここで、\(1 \le j \le n\)、は\(R_{1, n}\)内にいることを見よう。
\((\omega^j)^n = \omega^{j n} = (\omega^n)^j = 1^j = 1\)。
ステップ3:
\(R_{1, n}\)内に他の要素はないことを見よう。
\(F\)上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）\(F [x]\)のことを考えよう。
\(p (x) = x^n - 1 \in F [x]\)を取る。
\(p (\omega) = \omega^n - 1 = 0\)、したがって、\(p (x) = (x - \omega) q_1 (x)\)、ある\(q_1 (x) \in F [x]\)、ある(\(n - 1\))-ディグリー（次元）ポリノミアル（多項式）、に対して、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、任意の非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）のあるフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、当該ポリノミアル（多項式）はx - 当該要素を因子化できるという命題によって。
\(0 = (\omega^2)^n - 1 = p (\omega^2) = (\omega^2 - \omega) q_1 (\omega^2)\)、しかし、\(\omega^2 - \omega \neq 0\)、したがって、\(q_1 (\omega^2) = 0\)。したがって、\(q_1 (x) = (x - \omega^2) q_2 (x)\)、ある\(q_2 (x) \in F [x]\)、ある\(n - 2\)-ディグリー（次元）ポリノミアル（多項式）、に対して、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、任意の非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）のあるフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、当該ポリノミアル（多項式）はx - 当該要素を因子化できるという命題によって。
等々と続く、結局、\(p (x) = (x - \omega) ... (x - \omega^n) q_n (x)\)、ある\(q_n (x) \in F [x]\)、ある(\(n - n = 0\))-ディグリー（次元）ポリノミアル（多項式）、実のところ、非ゼロコンスタント（定数）\(q_n (x) = c\)、に対して。
すると、任意の\(a \in F \setminus \{\omega, ..., \omega^n = 1\}\)に対して、\(p (a) \neq 0\)、なぜなら、各々\(a - \omega^j \neq 0\)が成立する: もしも、\((a - \omega) ... (a - \omega^n) c = 0\)であったら、\(a - \omega = (a - \omega) ... (a - \omega^n) c c^{-1} (a - \omega^n)^{-1} ... (a - \omega^2)^{-1} = 0 c^{-1} (a - \omega^n)^{-1} ... (a - \omega^n)^{-1} = 0\)、矛盾。
