971: フィールド（体）、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）、フィールド（体）の非ゼロ要素に対して、もしも、フィールド（体）は1のプリミティブナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）および要素のナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持つ場合、要素のルート（根）たちはルート（根）と1のルート（根）たちの積たちである

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フィールド（体）、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）、フィールド（体）の非ゼロ要素に対して、もしも、フィールド（体）は1のプリミティブナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）および要素のナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持つ場合、要素のルート（根）たちはルート（根）と1のルート（根）たちの積たちであることの記述/証明

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話題

About: フィールド（体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、任意のフィールド（体）に対して、もしも、当該フィールド（体）が1のあるプリミティブポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持てば、当該プリミティブルート（根）の1から当該自然数乗たちが1の当該ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）たち全てであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のフィールド（体）に対して、0の任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のフィールド（体）上方にて、任意のn次ポリノミアル（多項式）は多くてもn根しか持たないという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）、当該フィールド（体）の任意の非ゼロ要素に対して、もしも、当該フィールド（体）は1のプリミティブ当該ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）および当該要素のある当該ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持つ場合、当該要素の当該ナンバー（数）乗ルート（根）たちは当該ルート（根）と1の当該ナンバー（数）乗ルート（根）たちの積たちであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$n$: $\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$
$r$: $\in F\setminus \{0\}$
$R_{r,n}$: $=\{\alpha \in F|{\alpha }^n=r\}$
//

ステートメント（言明）たち:
(
$\mathrm{\exists }\omega \in F\setminus \{1\}({\omega }^n=1\wedge \mathrm{\forall }j\in \{1,...,n-1\}({\alpha }^j\ne 1))$
$\wedge$
$\mathrm{\exists }\alpha \in F({\alpha }^n=r)$
)
$⟹$
$R_{r,n}=\{\alpha \omega ,...,\alpha {\omega }^n\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $\{\omega ,...,{\omega }^n\}$が$1$の$n$乗ルート（根）たちであることを見る; ステップ2: $\{\alpha \omega ,...,\alpha {\omega }^n\}$は互いに異なることを見る; ステップ3: $\{\alpha \omega ,...,\alpha {\omega }^n\}$の各要素は$R_{r,n}$内にあることを見る; ステップ4: $R_{r,n}$内に他の要素はないことを見る。

ステップ1:

$\{\omega ,...,{\omega }^n\}$は$1$の$n$乗ルート（根）たちである、任意のフィールド（体）に対して、もしも、当該フィールド（体）が1のあるプリミティブポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持てば、当該プリミティブルート（根）の1から当該自然数乗たちが1の当該ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）たち全てであるという命題によって。

ステップ2:

$\{\alpha \omega ,...,\alpha {\omega }^n\}$は互いに異なることを見よう。

$\alpha {\omega }^j=\alpha {\omega }^k$、ここで、$1\le j,k\le n$で$j\le k$、と仮定しよう、一般性を失わうことなく。

$\alpha \ne 0$、なぜなら、もしも、$\alpha =0$である場合、${\alpha }^n=0\ne r$: 任意のフィールド（体）に対して、0の任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であるという命題によって、矛盾。

したがって、$\alpha$はあるインバース（逆））${\alpha }^{-1}$を持つ。

${\omega }^j={\alpha }^{-1}\alpha {\omega }^j={\alpha }^{-1}\alpha {\omega }^k={\omega }^k$、それが意味するのは、$j=k$、なぜなら、$\{\omega ,...,{\omega }^n\}$が互いに異なることを私たちは既に知っている。

ステップ3:

$\{\alpha \omega ,...,\alpha {\omega }^n\}$の各要素は$R_{r,n}$の中にいることを見る。

$(\alpha {\omega }^j{)}^n={\alpha }^n({\omega }^j{)}^n=r{\omega }^{jn}=r({\omega }^n{)}^j=r{1}^j=r1=r$。

ステップ4:

$\{\alpha \omega ,...,\alpha {\omega }^n\}$は$n$要素たちを持つ、そして、$R_{r,n}$は他の要素を持ち得ない、任意のフィールド（体）上方にて、任意のn次ポリノミアル（多項式）は多くてもn根しか持たないという命題によって。

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参考資料

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