フィールド（体）、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）、フィールド（体）の非ゼロ要素に対して、もしも、フィールド（体）は1のプリミティブナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）および要素のナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持つ場合、要素のルート（根）たちはルート（根）と1のルート（根）たちの積たちであることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）に対して、もしも、当該フィールド（体）が1のあるプリミティブポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持てば、当該プリミティブルート（根）の1から当該自然数乗たちが1の当該ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）たち全てであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）に対して、0の任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方にて、任意のn次ポリノミアル（多項式）は多くてもn根しか持たないという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）、当該フィールド（体）の任意の非ゼロ要素に対して、もしも、当該フィールド（体）は1のプリミティブ当該ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）および当該要素のある当該ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持つ場合、当該要素の当該ナンバー（数）乗ルート（根）たちは当該ルート（根）と1の当該ナンバー（数）乗ルート（根）たちの積たちであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(r\): \(\in F \setminus \{0\}\)
\(R_{r, n}\): \(= \{\alpha \in F \vert \alpha^n = r\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists \omega \in F \setminus \{1\} (\omega^n = 1 \land \forall j \in \{1, ..., n - 1\} (\alpha^j \neq 1))\)
\(\land\)
\(\exists \alpha \in F (\alpha^n = r)\)
)
\(\implies\)
\(R_{r, n} = \{\alpha \omega, ..., \alpha \omega^n\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\{\omega, ..., \omega^n\}\)が\(1\)の\(n\)乗ルート（根）たちであることを見る; ステップ2: \(\{\alpha \omega, ..., \alpha \omega^n\}\)は互いに異なることを見る; ステップ3: \(\{\alpha \omega, ..., \alpha \omega^n\}\)の各要素は\(R_{r, n}\)内にあることを見る; ステップ4: \(R_{r, n}\)内に他の要素はないことを見る。
ステップ1:
\(\{\omega, ..., \omega^n\}\)は\(1\)の\(n\)乗ルート（根）たちである、任意のフィールド（体）に対して、もしも、当該フィールド（体）が1のあるプリミティブポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持てば、当該プリミティブルート（根）の1から当該自然数乗たちが1の当該ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）たち全てであるという命題によって。
ステップ2:
\(\{\alpha \omega, ..., \alpha \omega^n\}\)は互いに異なることを見よう。
\(\alpha \omega^j = \alpha \omega^k\)、ここで、\(1 \le j, k \le n\)で\(j \le k\)、と仮定しよう、一般性を失わうことなく。
\(\alpha \neq 0\)、なぜなら、もしも、\(\alpha = 0\)である場合、\(\alpha^n = 0 \neq r\): 任意のフィールド（体）に対して、0の任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であるという命題によって、矛盾。
したがって、\(\alpha\)はあるインバース（逆））\(\alpha^{-1}\)を持つ。
\(\omega^j = \alpha^{-1} \alpha \omega^j = \alpha^{-1} \alpha \omega^k = \omega^k\)、それが意味するのは、\(j = k\)、なぜなら、\(\{\omega, ..., \omega^n\}\)が互いに異なることを私たちは既に知っている。
ステップ3:
\(\{\alpha \omega, ..., \alpha \omega^n\}\)の各要素は\(R_{r, n}\)の中にいることを見る。
\((\alpha \omega^j)^n = \alpha^n (\omega^j)^n = r \omega^{j n} = r (\omega^n)^j = r 1^j = r 1 = r\)。
ステップ4:
\(\{\alpha \omega, ..., \alpha \omega^n\}\)は\(n\)要素たちを持つ、そして、\(R_{r, n}\)は他の要素を持ち得ない、任意のフィールド（体）上方にて、任意のn次ポリノミアル（多項式）は多くてもn根しか持たないという命題によって。
