943: ファイナイト（有限）グループ（群）、サブグループ（部分群）でそのインデックスがグループ（群）のオーダーの最小プライム（素数）因子であるものに対して、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である

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ファイナイト（有限）グループ（群）、サブグループ（部分群）でそのインデックスがグループ（群）のオーダーの最小プライム（素数）因子であるものに対して、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
• 読者は、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該サブグループ（部分群）のコンジュゲート（共役）たちのセット（集合）に対して、当該グループ（群）から当該コンジュゲート（共役）たちセット（集合）のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）の中へのあるグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）でそのカーネル（核）が、当該サブグループ（部分群）の当該グループ（群）上におけるノーマライザー（正規化群）のサブグループ（部分群）であるものがあるという命題を認めている。
• 読者は、ラグランジュの定理を認めている。
• 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、ドメイン（定義域）の、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）によるクウォシェント（商）グループ（群）は、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である: グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理、という命題を認めている。
• 読者は、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該サブグループ（部分群）の、任意のグループ（群）要素による左または右コセット（剰余類）に対して、当該サブグループ（部分群）の、当該コセット（剰余類）の任意の要素たちまたは任意の要素たちのインバース（逆）たちによるコンジュゲート（共役）たちは同一であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）グループ（群）、任意のサブグループ（部分群）でそのインデックスが当該グループ（群）のオーダーの最小プライム（素数）因子であるものに対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$|G^{\prime }|$: $=p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$、ここで、$p^j\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$で、$n_j\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$で、$p_1<...<p_k$を満たす
$G$: $\in \{G^{\prime }\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$[G^{\prime }:G]=p_1$
$⟹$
$G\in \{G^{\prime }\text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}$
//

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2: 注

$|G^{\prime }|=p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$は押し付けのコンディションではない: 任意のグループ（群）のオーダーはそのようにプライムナンバー（素数）たちに因数分解できる、勿論、$(p_1,...,p_k)$および$(n_1,...,n_k)$は$G^{\prime }$に依存するが。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $G$のコンジュゲート（共役）たちのセット（集合）$C$を取り、以下を満たすグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）$f:G\to S_C$、つまり、$Ker(f)\in \{N_{G^{\prime }}(G)\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$、を取る; ステップ2: これ以降、$G$はノーマルサブグループ（正規部分群）ではなかったと仮定する、そして、$N_{G^{\prime }}(G)=G$であることを見る; ステップ3: $Ker(f)=G$であると仮定し、矛盾を見つける; ステップ4: $Ker(f)\in \{G\text{ の全てのプロパーサブグループ（真部分群）たち }\}$であると仮定して、矛盾を見つける; ステップ5: $G$は$G^{\prime }$のノーマルサブグループ（正規部分群）であると結論する。

ステップ1:

$G$の全てのコンジュゲート（共役）たちのセット（集合）$C$を取ろう。

以下を満たすグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）$f:G^{\prime }\to S_C$、つまり、$Ker(f)\in \{N_{G^{\prime }}(G)\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$、ここで、$S_C$は$C$のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）であり$N_{G^{\prime }}(G)$は$G$の$G^{\prime }$上におけるノーマライザー（正規化群）、がある、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該サブグループ（部分群）のコンジュゲート（共役）たちのセット（集合）に対して、当該グループ（群）から当該コンジュゲート（共役）たちセット（集合）のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）の中へのあるグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）でそのカーネル（核）が、当該サブグループ（部分群）の当該グループ（群）上におけるノーマライザー（正規化群）のサブグループ（部分群）であるものがあるという命題によって。

ステップ2:

これ以降、$G$はノーマルサブグループ（正規部分群）ではなかったと仮定しよう。

$N_{G^{\prime }}(G)=G$であることを見よう。

$N_{G^{\prime }}(G)$は$G$を包含し、$G^{\prime }$のサブグループ（部分群）である。もしも、$N_{G^{\prime }}(G)=G^{\prime }$である場合、$G$は$G^{\prime }$のノーマルサブグループ（正規部分群）であることになる、矛盾。したがって、$N_{G^{\prime }}(G)$は$G^{\prime }$のプロパーサブグループ（真部分群）である。

$[G^{\prime }:G]=p_1$が含意するのは、$|G|=p_1^{n_1-1}...p_k^{n_k}$。すると、$|N_{G^{\prime }}(G)|=p_1^{n_1-1}...p_k^{n_k}$、ラグランジュの定理によって: $G$は$N_{G^{\prime }}(G)$のサブグループ（部分群）であるから、$|N_{G^{\prime }}(G)|$は$|G|$の倍数である、しかし、$N_{G^{\prime }}(G)$は$G^{\prime }$のサブグループ（部分群）であるから、$|N_{G^{\prime }}(G)|$は$|G^{\prime }|$の因子である、したがって、$|N_{G^{\prime }}(G)|$は$p_1^{n_1-1}...p_k^{n_k}$の倍数であり、$p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$の因子である、しかし、$p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$に等しくない。

それが意味するのは、$N_{G^{\prime }}(G)=G$。

したがって、$Ker(f)\in \{N_{G^{\prime }}(G)=G\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$。

ステップ3:

$Ker(f)=G$であったと仮定しよう。

$G$は$G^{\prime }$のノーマルサブグループ（正規部分群）ではなかったから、以下を満たすある$g^{\prime }\in G^{\prime }$、つまり、$g^{\prime }G{g^{\prime }}^{-1}\ne G$、があることになる、それが意味するのは、以下を満たすある$g\in G$、つまり、$g^{\prime }g{g^{\prime }}^{-1}\notin G$、があったということ。

$f(g^{\prime }g{g^{\prime }}^{-1})=f(g^{\prime })f(g)f({g^{\prime }}^{-1})=f(g^{\prime })1f({g^{\prime }}^{-1})$、なぜなら、$Ker(f)=G$, $=f(g^{\prime }{g^{\prime }}^{-1})=f(1)=1$。

したがって、$g^{\prime }g{g^{\prime }}^{-1}\in Ker(f)$、$g^{\prime }g{g^{\prime }}^{-1}\notin G=Ker(f)$に反する矛盾。

ステップ4:

したがって、$Ker(f)$は$G$のプロパーサブグループ（真部分群）であったと仮定しよう。

$Ker(f)$は$G^{\prime }$のサブグループ（部分群）であった、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、ドメイン（定義域）の、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）によるクウォシェント（商）グループ（群）は、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である: グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理、という命題によって。

したがって、$|Ker(f)|=p_1^{n_1^{\prime }}...p_k^{n_k^{\prime }}$、ここで、$n_k^{\prime }\in \mathbb{N}$で$n_j^{\prime }\le n_j$を満たす、ラグランジュの定理によって。

$|G^{\prime }/Ker(f)|=p_1^{n_1-n_1^{\prime }}...p_k^{n_k-n_k^{\prime }}$。

$l:=|C|\le p_1$、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該サブグループ（部分群）の、任意のグループ（群）要素による左または右コセット（剰余類）に対して、当該サブグループ（部分群）の、当該コセット（剰余類）の任意の要素たちまたは任意の要素たちのインバース（逆）たちによるコンジュゲート（共役）たちは同一であるという命題によって。

$|S_C|=l!$。

$Ran(f)$は$S_C$のサブグループ（部分群）だということになる、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、ドメイン（定義域）の、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）によるクウォシェント（商）グループ（群）は、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である: グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理、という命題によって。

したがって、$|Ran(f)|$は$l!$の因子であることになる、ラグランジュの定理によって。

任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、ドメイン（定義域）の、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）によるクウォシェント（商）グループ（群）は、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である: グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理、という命題によって、$|G^{\prime }/Ker(f)|=p_1^{n_1-n_1^{\prime }}...p_k^{n_k-n_k^{\prime }}=|Ran(f)|$。

$|Ran(f)|$は$l!$の因子であり$l\le p_1$であったから、$|Ran(f)|=p_1=l=|G^{\prime }/Ker(f)|$: それは$1$ではありえない、なぜなら、もしも、$|G^{\prime }/Ker(f)|=1$であった場合、$Ker(f)=G^{\prime }$、$Ker(f)\subset G\subset G^{\prime }$に反する矛盾。

$|G^{\prime }/G|=p_1$であるから、$|G^{\prime }/Ker(f)|=|G^{\prime }/G|$、それは、$|Ker(f)|=|G|$であることを含意することになる、それは、$Ker(f)=G$を含意することになる、なぜなら、$Ker(f)$は$G$のサブグループ（部分群）であった、しかし、それは、$Ker(f)$は$G$のプロパーサブグループ（真部分群）であったことに反する矛盾となる。　

ステップ5:

したがって、$G$はノーマルサブグループ（正規部分群）ではなかったという仮定は矛盾に至る、したがって、$G$は$G^{\prime }$のノーマルサブグループ（正規部分群）である。

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参考資料

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