ファイナイト（有限）グループ（群）、サブグループ（部分群）でそのインデックスがグループ（群）のオーダーの最小プライム（素数）因子であるものに対して、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該サブグループ（部分群）のコンジュゲート（共役）たちのセット（集合）に対して、当該グループ（群）から当該コンジュゲート（共役）たちセット（集合）のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）の中へのあるグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）でそのカーネル（核）が、当該サブグループ（部分群）の当該グループ（群）上におけるノーマライザー（正規化群）のサブグループ（部分群）であるものがあるという命題を認めている。
- 読者は、ラグランジュの定理を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、ドメイン（定義域）の、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）によるクウォシェント（商）グループ（群）は、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である: グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理、という命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該サブグループ（部分群）の、任意のグループ（群）要素による左または右コセット（剰余類）に対して、当該サブグループ（部分群）の、当該コセット（剰余類）の任意の要素たちまたは任意の要素たちのインバース（逆）たちによるコンジュゲート（共役）たちは同一であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）グループ（群）、任意のサブグループ（部分群）でそのインデックスが当該グループ（群）のオーダーの最小プライム（素数）因子であるものに対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(\vert G' \vert\): \(= p_1^{n_1} ... p_k^{n_k}\)、ここで、\(p^j \in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)で、\(n_j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で、\(p_1 \lt ... \lt p_k\)を満たす
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\([G' : G] = p_1\)
\(\implies\)
\(G \in \{G' \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
//
2: 注
\(\vert G' \vert = p_1^{n_1} ... p_k^{n_k}\)は押し付けのコンディションではない: 任意のグループ（群）のオーダーはそのようにプライムナンバー（素数）たちに因数分解できる、勿論、\((p_1, ..., p_k)\)および\((n_1, ..., n_k)\)は\(G'\)に依存するが。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(G\)のコンジュゲート（共役）たちのセット（集合）\(C\)を取り、以下を満たすグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）\(f: G \to S_C\)、つまり、\(Ker (f) \in \{N_{G'} (G) \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)、を取る; ステップ2: これ以降、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）ではなかったと仮定する、そして、\(N_{G'} (G) = G\)であることを見る; ステップ3: \(Ker (f) = G\)であると仮定し、矛盾を見つける; ステップ4: \(Ker (f) \in \{G \text{ の全てのプロパーサブグループ（真部分群）たち }\}\)であると仮定して、矛盾を見つける; ステップ5: \(G\)は\(G'\)のノーマルサブグループ（正規部分群）であると結論する。
ステップ1:
\(G\)の全てのコンジュゲート（共役）たちのセット（集合）\(C\)を取ろう。
以下を満たすグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）\(f: G' \to S_C\)、つまり、\(Ker (f) \in \{N_{G'} (G) \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)、ここで、\(S_C\)は\(C\)のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）であり\(N_{G'} (G)\)は\(G\)の\(G'\)上におけるノーマライザー（正規化群）、がある、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該サブグループ（部分群）のコンジュゲート（共役）たちのセット（集合）に対して、当該グループ（群）から当該コンジュゲート（共役）たちセット（集合）のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）の中へのあるグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）でそのカーネル（核）が、当該サブグループ（部分群）の当該グループ（群）上におけるノーマライザー（正規化群）のサブグループ（部分群）であるものがあるという命題によって。
ステップ2:
これ以降、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）ではなかったと仮定しよう。
\(N_{G'} (G) = G\)であることを見よう。
\(N_{G'} (G)\)は\(G\)を包含し、\(G'\)のサブグループ（部分群）である。もしも、\(N_{G'} (G) = G'\)である場合、\(G\)は\(G'\)のノーマルサブグループ（正規部分群）であることになる、矛盾。したがって、\(N_{G'} (G)\)は\(G'\)のプロパーサブグループ（真部分群）である。
\([G' : G] = p_1\)が含意するのは、\(\vert G \vert = p_1^{n_1 - 1} ... p_k^{n_k}\)。すると、\(\vert N_{G'} (G) \vert = p_1^{n_1 - 1} ... p_k^{n_k}\)、ラグランジュの定理によって: \(G\)は\(N_{G'} (G)\)のサブグループ（部分群）であるから、\(\vert N_{G'} (G) \vert\)は\(\vert G \vert\)の倍数である、しかし、\(N_{G'} (G)\)は\(G'\)のサブグループ（部分群）であるから、\(\vert N_{G'} (G) \vert\)は\(\vert G' \vert\)の因子である、したがって、\(\vert N_{G'} (G) \vert\)は\(p_1^{n_1 - 1} ... p_k^{n_k}\)の倍数であり、\(p_1^{n_1} ... p_k^{n_k}\)の因子である、しかし、\(p_1^{n_1} ... p_k^{n_k}\)に等しくない。
それが意味するのは、\(N_{G'} (G) = G\)。
したがって、\(Ker (f) \in \{N_{G'} (G) = G \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)。
ステップ3:
\(Ker (f) = G\)であったと仮定しよう。
\(G\)は\(G'\)のノーマルサブグループ（正規部分群）ではなかったから、以下を満たすある\(g' \in G'\)、つまり、\(g' G {g'}^{-1} \neq G\)、があることになる、それが意味するのは、以下を満たすある\(g \in G\)、つまり、\(g' g {g'}^{-1} \notin G\)、があったということ。
\(f (g' g {g'}^{-1}) = f (g') f (g) f ({g'}^{-1}) = f (g') 1 f ({g'}^{-1})\)、なぜなら、\(Ker (f) = G\), \(= f (g' {g'}^{-1}) = f (1) = 1\)。
したがって、\(g' g {g'}^{-1} \in Ker (f)\)、\(g' g {g'}^{-1} \notin G = Ker (f)\)に反する矛盾。
ステップ4:
したがって、\(Ker (f)\)は\(G\)のプロパーサブグループ（真部分群）であったと仮定しよう。
\(Ker (f)\)は\(G'\)のサブグループ（部分群）であった、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、ドメイン（定義域）の、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）によるクウォシェント（商）グループ（群）は、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である: グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理、という命題によって。
したがって、\(\vert Ker (f) \vert = p_1^{n'_1} ... p_k^{n'_k}\)、ここで、\(n'_k \in \mathbb{N}\)で\(n'_j \le n_j\)を満たす、ラグランジュの定理によって。
\(\vert G' / Ker (f) \vert = p_1^{n_1 - n'_1} ... p_k^{n_k - n'_k}\)。
\(l := \vert C \vert \le p_1\)、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該サブグループ（部分群）の、任意のグループ（群）要素による左または右コセット（剰余類）に対して、当該サブグループ（部分群）の、当該コセット（剰余類）の任意の要素たちまたは任意の要素たちのインバース（逆）たちによるコンジュゲート（共役）たちは同一であるという命題によって。
\(\vert S_C \vert = l!\)。
\(Ran (f)\)は\(S_C\)のサブグループ（部分群）だということになる、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、ドメイン（定義域）の、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）によるクウォシェント（商）グループ（群）は、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である: グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理、という命題によって。
したがって、\(\vert Ran (f) \vert\)は\(l!\)の因子であることになる、ラグランジュの定理によって。
任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、ドメイン（定義域）の、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）によるクウォシェント（商）グループ（群）は、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である: グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理、という命題によって、\(\vert G' / Ker (f) \vert = p_1^{n_1 - n'_1} ... p_k^{n_k - n'_k} = \vert Ran (f) \vert\)。
\(\vert Ran (f) \vert\)は\(l!\)の因子であり\(l \le p_1\)であったから、\(\vert Ran (f) \vert = p_1 = l = \vert G' / Ker (f) \vert\): それは\(1\)ではありえない、なぜなら、もしも、\(\vert G' / Ker (f) \vert = 1\)であった場合、\(Ker (f) = G'\)、\(Ker (f) \subset G \subset G'\)に反する矛盾。
\(\vert G' / G \vert = p_1\)であるから、\(\vert G' / Ker (f) \vert = \vert G' / G \vert\)、それは、\(\vert Ker (f) \vert = \vert G \vert\)であることを含意することになる、それは、\(Ker (f) = G\)を含意することになる、なぜなら、\(Ker (f)\)は\(G\)のサブグループ（部分群）であった、しかし、それは、\(Ker (f)\)は\(G\)のプロパーサブグループ（真部分群）であったことに反する矛盾となる。
ステップ5:
したがって、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）ではなかったという仮定は矛盾に至る、したがって、\(G\)は\(G'\)のノーマルサブグループ（正規部分群）である。
