グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理の記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、ドメイン（定義域）の、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）によるクウォシェント（商）グループ（群）は、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である: グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G_1\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(f\): \(: G_1 \to G_2\), \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
\(Ker (f)\): \(= f \text{ のカーネル（核） }\)
\(Ran (f)\): \(= f \text{ のレンジ（値域） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Ker (f) \in \{G_1 \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
\(\land\)
\(Ran (f) \in \{G_2 \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(\land\)
\(G_1 / Ker (f) \cong_{グループ（群）たち} Ran (f)\)、\(f': G_1 / Ker (f) \to Ran (f), [g] \mapsto f (g)\)によって、ここで、\(\cong_{グループ（群）たち}\)は、'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることを記す
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Ker (f)\)は\(G_1\)のノーマルサブグループ（正規部分群）であることを見る; ステップ2: \(Ran (f)\)は\(G_2\)のサブグループ（部分群）であることを見る; ステップ3: \(f'\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）であることを見る; ステップ4: \(f'\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見る; ステップ5: \(f'\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る; ステップ6: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(Ker (f)\)は\(G_1\)のノーマルサブグループ（正規部分群）である、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題によって。
したがって、\(G_1 / Ker (f)\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）である。
ステップ2:
\(Ran (f)\)は\(G_2\)のサブグループ（部分群）である、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であるという命題によって。
ステップ3:
\(f'\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）である、なぜなら、以下を満たす任意の\(g' \in G_1\)、つまり、\([g'] = [g]\)、に対して、\(g' = g g''\)、ここで、\(g'' \in Ker (f)\)、\(f (g') = f (g) f (g'') = f (g) 1 = f (g)\)。
ステップ4:
\(f'\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、任意の\([g_1] \neq [g_2]\)に対して、\(f (g_1 {g_2}^{-1}) = f (g_1) {f (g_2)}^{-1}\)、しかし、\(g_1 {g_2}^{-1} \notin Ker (f)\)、したがって、\(f (g_1) {f (g_2)}^{-1} \neq 1\)、\(f (g_1) \neq f (g_2)\)。
\(f'\)はサージェクティブ（全射）である、明らかに。
したがって、\(f'\)はバイジェクティブ（全単射）である。
ステップ5:
\(f'\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、なぜなら、\(f' ([g_1] [g_2]) = f' ([g_1 g_2]) = f (g_1 g_2) = f (g_1) f (g_2) = f' ([g_1]) f' ([g_2])\); \(f' ([1]) = f (1) = 1\); \(f' ([g]^{-1}) = f' ([g^{-1}]) = f (g^{-1}) = {f (g)}^{-1} = {f' ([g])}^{-1}\)。
ステップ6:
したがって、\(f'\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
