942: グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理|T.B.P.日本語版

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グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理の記述/証明

話題

About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 構造化された記述
2: 証明

開始コンテキスト

読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。
読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題を認めている。
読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であるという命題を認めている。
読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、ドメイン（定義域）の、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）によるクウォシェント（商）グループ（群）は、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である: グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理、という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

G_{1}

\in {全てのグループ（群）たち}

G_{2}

\in {全てのグループ（群）たち}

f

: G_{1} \to G_{2}

\in {全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち}

K e r (f)

= f のカーネル（核）

R a n (f)

= f のレンジ（値域）

//

ステートメント（言明）たち:

K e r (f) \in {G_{1} の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち}

\land

R a n (f) \in {G_{2} の全てのサブグループ（部分群）たち}

\land

G_{1} / K e r (f) ≅_{グ ル ー プ （ 群 ） た ち} R a n (f)

、

f^{'} : G_{1} / K e r (f) \to R a n (f), [g] \mapsto f (g)

によって、ここで、

≅_{グ ル ー プ （ 群 ） た ち}

は、'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることを記す
//

2: 証明

全体戦略: ステップ1:

K e r (f)

は

G_{1}

のノーマルサブグループ（正規部分群）であることを見る; ステップ2:

R a n (f)

は

G_{2}

のサブグループ（部分群）であることを見る; ステップ3:

f^{'}

はウェルデファインド（妥当に定義されている）であることを見る; ステップ4:

f^{'}

はバイジェクティブ（全単射）であることを見る; ステップ5:

f^{'}

はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る; ステップ6: 本命題を結論する。

ステップ1:

K e r (f)

は

G_{1}

のノーマルサブグループ（正規部分群）である、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題によって。

したがって、

G_{1} / K e r (f)

はウェルデファインド（妥当に定義されている）である。

ステップ2:

R a n (f)

は

G_{2}

のサブグループ（部分群）である、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であるという命題によって。

ステップ3:

f^{'}

はウェルデファインド（妥当に定義されている）である、なぜなら、以下を満たす任意の

g^{'} \in G_{1}

、つまり、

[g^{'}] = [g]

、に対して、

g^{'} = g g^{″}

、ここで、

g^{″} \in K e r (f)

、

f (g^{'}) = f (g) f (g^{″}) = f (g) 1 = f (g)

。

ステップ4:

f^{'}

はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、任意の

[g_{1}] \neq [g_{2}]

に対して、

f (g_{1} {g_{2}}^{- 1}) = f (g_{1}) {f (g_{2})}^{- 1}

、しかし、

g_{1} {g_{2}}^{- 1} \notin K e r (f)

、したがって、

f (g_{1}) {f (g_{2})}^{- 1} \neq 1

、

f (g_{1}) \neq f (g_{2})

。

f^{'}

はサージェクティブ（全射）である、明らかに。

したがって、

f^{'}

はバイジェクティブ（全単射）である。

ステップ5:

f^{'}

はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、なぜなら、

f^{'} ([g_{1}] [g_{2}]) = f^{'} ([g_{1} g_{2}]) = f (g_{1} g_{2}) = f (g_{1}) f (g_{2}) = f^{'} ([g_{1}]) f^{'} ([g_{2}])

;

f^{'} ([1]) = f (1) = 1

;

f^{'} ([g]^{- 1}) = f^{'} ([g^{- 1}]) = f (g^{- 1}) = {f (g)}^{- 1} = {f^{'} ([g])}^{- 1}

。

ステップ6:

したがって、

f^{'}

は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

参考資料

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2025年1月12日日曜日