944: シンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）たちのいくつかのマルチプリケーション（積）たちに関するメモ

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シンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）たちのいくつかのマルチプリケーション（積）たちに関するメモの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、nシンメトリックグループ（対称群）の定義を知っている。
• 読者は、nシンメトリックグループ（対称群）上のmサイクル（巡回置換）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のシンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）たちのいくつかのマルチプリケーション（積）たちに関するあるメモの記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$n$: $\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$
$S_n$: $=n\text{ -シンメトリックグループ（対称群） }$
$\{a,b,c,d\}$: $\subseteq \{1,...,n\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$(a,b{)}^2=1$
$\wedge$
$(a,b,c{)}^2=(a,c,b)$
$\wedge$
$(a,b,c{)}^3=(a,c,b)(a,b,c)=(a,b,c)(a,c,b)=1$
$\wedge$
$(a,b,c,d{)}^2=(a,c)(b,d)$
$\wedge$
$(a,b,c,d{)}^3=(a,c)(b,d)(a,b,c,d)=(a,b,c,d)(a,c)(b,d)=(a,d,c,b)$
$\wedge$
$(a,b,c,d{)}^4=(a,d,c,b)(a,b,c,d)=(a,b,c,d)(a,d,c,b)=1$
$\wedge$
$(a,b,c,d)(a,b,d,c)=(a,c,b)$
$\wedge$
$(a,b,c,d)(a,c,b,d)=(a,d,b)$
$\wedge$
$(a,b,c,d)(a,c,d,b)=(a,d,c)$
//

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2: 注

勿論、当該結果たちは、単に勤勉に行なうことによって得られる、しかし、毎回勤勉に行なうのは無駄が多い、したがって、将来の機会たちのための参照先としてここに記録しよう。

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3: 証明

全体戦略: それらを勤勉に行なう。

$(a,b{)}^2=(a,b)(a,b)=a\mapsto a,b\mapsto b=1$。

$(a,b,c{)}^2=(a,b,c)(a,b,c)=a\mapsto c,b\mapsto a,c\mapsto b=(a,c,b)$。

$(a,b,c{)}^3=(a,b,c{)}^2(a,b,c)=(a,c,b)(a,b,c)=a\mapsto a,b\mapsto b,c\mapsto c=1$。

$(a,b,c{)}^3=(a,b,c)(a,b,c{)}^2=(a,b,c)(a,c,b)=a\mapsto a,b\mapsto b,c\mapsto c=1$。

$(a,b,c,d{)}^2=(a,b,c,d)(a,b,c,d)=a\mapsto c,b\mapsto d,c\mapsto a,d\mapsto b=(a,c)(b,d)$。

$(a,b,c,d{)}^3=(a,b,c,d{)}^2(a,b,c,d)=(a,c)(b,d)(a,b,c,d)=a\mapsto d,b\mapsto a,c\mapsto b,d\mapsto c=(a,d,c,b)$。

$(a,b,c,d{)}^3=(a,b,c,d)(a,b,c,d{)}^2=(a,b,c,d)(a,c)(b,d)=a\mapsto d,b\mapsto a,c\mapsto b,d\mapsto c=(a,d,c,b)$。

$(a,b,c,d{)}^4=(a,b,c,d{)}^3(a,b,c,d)=(a,d,c,b)(a,b,c,d)=a\mapsto a,b\mapsto b,c\mapsto c,d\mapsto d=1$。

$(a,b,c,d{)}^4=(a,b,c,d)(a,b,c,d{)}^3=(a,b,c,d)(a,d,c,b)=a\mapsto a,b\mapsto b,c\mapsto c,d\mapsto d=1$。

$(a,b,c,d)(a,b,d,c)=a\mapsto c,b\mapsto a,c\mapsto b,d\mapsto d=(a,c,b)$。

$(a,b,c,d)(a,c,b,d)=a\mapsto d,b\mapsto a,c\mapsto c,d\mapsto b=(a,d,b)$。

$(a,b,c,d)(a,c,d,b)=a\mapsto d,b\mapsto b,c\mapsto a,d\mapsto c=(a,d,c)$。

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参考資料

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