シンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）たちのいくつかのマルチプリケーション（積）たちに関するメモの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、nシンメトリックグループ（対称群）の定義を知っている。
- 読者は、nシンメトリックグループ（対称群）上のmサイクル（巡回置換）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のシンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）たちのいくつかのマルチプリケーション（積）たちに関するあるメモの記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(S_n\): \(= \text{ } n \text{ -シンメトリックグループ（対称群） }\)
\(\{a, b, c, d\}\): \(\subseteq \{1, ..., n\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((a, b)^2 = 1\)
\(\land\)
\((a, b, c)^2 = (a, c, b)\)
\(\land\)
\((a, b, c)^3 = (a, c, b) (a, b, c) = (a, b, c) (a, c, b) = 1\)
\(\land\)
\((a, b, c, d)^2 = (a, c) (b, d)\)
\(\land\)
\((a, b, c, d)^3 = (a, c) (b, d) (a, b, c, d) = (a, b, c, d) (a, c) (b, d) = (a, d, c, b)\)
\(\land\)
\((a, b, c, d)^4 = (a, d, c, b) (a, b, c, d) = (a, b, c, d) (a, d, c, b) = 1\)
\(\land\)
\((a, b, c, d) (a, b, d, c) = (a, c, b)\)
\(\land\)
\((a, b, c, d) (a, c, b, d) = (a, d, b)\)
\(\land\)
\((a, b, c, d) (a, c, d, b) = (a, d, c)\)
//
2: 注
勿論、当該結果たちは、単に勤勉に行なうことによって得られる、しかし、毎回勤勉に行なうのは無駄が多い、したがって、将来の機会たちのための参照先としてここに記録しよう。
3: 証明
全体戦略: それらを勤勉に行なう。
\((a, b)^2 = (a, b) (a, b) = a \mapsto a, b \mapsto b = 1\)。
\((a, b, c)^2 = (a, b, c) (a, b, c) = a \mapsto c, b \mapsto a, c \mapsto b = (a, c, b)\)。
\((a, b, c)^3 = (a, b, c)^2 (a, b, c) = (a, c, b) (a, b, c) = a \mapsto a, b \mapsto b, c \mapsto c = 1\)。
\((a, b, c)^3 = (a, b, c) (a, b, c)^2 = (a, b, c) (a, c, b) = a \mapsto a, b \mapsto b, c \mapsto c = 1\)。
\((a, b, c, d)^2 = (a, b, c, d) (a, b, c, d) = a \mapsto c, b \mapsto d, c \mapsto a, d \mapsto b = (a, c) (b, d)\)。
\((a, b, c, d)^3 = (a, b, c, d)^2 (a, b, c, d) = (a, c) (b, d) (a, b, c, d) = a \mapsto d, b \mapsto a, c \mapsto b, d \mapsto c = (a, d, c, b)\)。
\((a, b, c, d)^3 = (a, b, c, d) (a, b, c, d)^2 = (a, b, c, d) (a, c) (b, d) = a \mapsto d, b \mapsto a, c \mapsto b, d \mapsto c = (a, d, c, b)\)。
\((a, b, c, d)^4 = (a, b, c, d)^3 (a, b, c, d) = (a, d, c, b) (a, b, c, d) = a \mapsto a, b \mapsto b, c \mapsto c, d \mapsto d = 1\)。
\((a, b, c, d)^4 = (a, b, c, d) (a, b, c, d)^3 = (a, b, c, d) (a, d, c, b) = a \mapsto a, b \mapsto b, c \mapsto c, d \mapsto d = 1\)。
\((a, b, c, d) (a, b, d, c) = a \mapsto c, b \mapsto a, c \mapsto b, d \mapsto d = (a, c, b)\)。
\((a, b, c, d) (a, c, b, d) = a \mapsto d, b \mapsto a, c \mapsto c, d \mapsto b = (a, d, b)\)。
\((a, b, c, d) (a, c, d, b) = a \mapsto d, b \mapsto b, c \mapsto a, d \mapsto c = (a, d, c)\)。
