939: グループ（群）、サブグループ（部分群）、サブグループ（部分群）の、グループ（群）要素による左または右コセット（剰余類）に対して、サブグループ（部分群）の、コセット（剰余類）の要素たちまたは要素たちのインバース（逆）たちによるコンジュゲート（共役）たちは同一である

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グループ（群）、サブグループ（部分群）、サブグループ（部分群）の、グループ（群）要素による左または右コセット（剰余類）に対して、サブグループ（部分群）の、コセット（剰余類）の要素たちまたは要素たちのインバース（逆）たちによるコンジュゲート（共役）たちは同一であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義を知っている。
• 読者は、サブグループ（部分群）の、要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）の定義を知っている。
• 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意の要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該サブグループ（部分群）の、任意のグループ（群）要素による左または右コセット（剰余類）に対して、当該サブグループ（部分群）の、当該コセット（剰余類）の任意の要素たちまたは任意の要素たちのインバース（逆）たちによるコンジュゲート（共役）たちは同一であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$G$: $\in \{G^{\prime }\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$
$g^{\prime }$: $\in G^{\prime }$
$h_1$: $\in g^{\prime }G$
$h_2$: $\in g^{\prime }G$
$\widetilde{h_1}$: $\in G{g}^{\prime }$
$\widetilde{h_2}$: $\in G{g}^{\prime }$
//

ステートメント（言明）たち:
$h_{1}G{h_1}^{-1}=h_{2}G{h_2}^{-1}$
$\wedge$
${\widetilde{h_1}}^{-1}G\widetilde{h_1}={\widetilde{h_2}}^{-1}G\widetilde{h_2}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $h_j$を$=g^{\prime }{g}_j$と表わす; ステップ2: $h_{j}G{h_j}^{-1}=g^{\prime }G{g^{\prime }}^{-1}$であることをステップ1の表現たちによって見る; ステップ3: $\widetilde{h_j}$を$=g_j{g}^{\prime }$と表現する; ステップ4: ${\widetilde{h_j}}^{-1}G\widetilde{h_j}={g^{\prime }}^{-1}G{g}^{\prime }$であることをステップ3の表現たちによって見る。

ステップ1:

$h_1=g^{\prime }{g}_1$、ある$g_1\in G$に対して; $h_2=g^{\prime }{g}_2$、ある$g_2\in G$に対して。

ステップ2:

$h_{j}G{h_j}^{-1}=g^{\prime }{g}_{j}G(g^{\prime }{g}_j{)}^{-1}=g^{\prime }{g}_{j}G{g_j}^{-1}{g^{\prime }}^{-1}=g^{\prime }(g_{j}G{g_j}^{-1}){g^{\prime }}^{-1}=g^{\prime }G{g^{\prime }}^{-1}$、任意のグループ（群）に対して、任意の要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

したがって、$h_{1}G{h_1}^{-1}=g^{\prime }G{g^{\prime }}^{-1}=h_{2}G{h_2}^{-1}$。

ステップ3:

$\widetilde{h_1}=g_1{g}^{\prime }$、ある$g_1\in G$に対して; $\widetilde{h_2}=g_2{g}^{\prime }$、ある$g_2\in G$に対して。

ステップ4:

${\widetilde{h_1}}^{-1}G\widetilde{h_1}=(g_1{g}^{\prime }{)}^{-1}G{g}_1{g}^{\prime }=g^{\prime -1}{g_1}^{-1}G{g}_1{g}^{\prime }=g^{\prime -1}({g_1}^{-1}G{g}_1)g^{\prime }=g^{\prime -1}G{g}^{\prime }$、任意のグループ（群）に対して、任意の要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

したがって、${\widetilde{h_1}}^{-1}G\widetilde{h_1}=g^{\prime -1}G{g}^{\prime }={\widetilde{h_2}}^{-1}G\widetilde{h_2}$。

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3: 注

上記ロジックが示しているとおり、インバース（逆）たち${\widetilde{h_1}}^{-1}$および${\widetilde{h_2}}^{-1}$を使うことが、右コセットに対しては肝要である。

1つの即座の系として、$G$は最大で$[G^{\prime }:G]$コンジュゲート（共役）たちを持つ: 任意のコンジュゲート（共役）を生成するためには、$g^{\prime }$がある左コセット（剰余類）から選ばれる必要がある、しかし、各左コセット（剰余類）は1つのコンジュゲート（共役）のみを生成するから、最大$[G^{\prime }:G]$コンジュゲート（共役）たちのみがあり得る: 何らかの2つの左コセット（剰余類）たちが同一コンジュゲート（共役）を生成するかもしれない（特に、$G$がノーマルサブグループ（正規部分群）である時は、全ての左コセット（剰余類）たちが同一コンジュゲート（共役）$G$を生成する）。

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参考資料

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