グループ（群）、サブグループ（部分群）、サブグループ（部分群）の、グループ（群）要素による左または右コセット（剰余類）に対して、サブグループ（部分群）の、コセット（剰余類）の要素たちまたは要素たちのインバース（逆）たちによるコンジュゲート（共役）たちは同一であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該サブグループ（部分群）の、任意のグループ（群）要素による左または右コセット（剰余類）に対して、当該サブグループ（部分群）の、当該コセット（剰余類）の任意の要素たちまたは任意の要素たちのインバース（逆）たちによるコンジュゲート（共役）たちは同一であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(g'\): \(\in G'\)
\(h_1\): \(\in g' G\)
\(h_2\): \(\in g' G\)
\(\widetilde{h_1}\): \(\in G g'\)
\(\widetilde{h_2}\): \(\in G g'\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(h_1 G {h_1}^{-1} = h_2 G {h_2}^{-1}\)
\(\land\)
\(\widetilde{h_1}^{-1} G \widetilde{h_1} = \widetilde{h_2}^{-1} G \widetilde{h_2}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(h_j\)を\(= g' g_j\)と表わす; ステップ2: \(h_j G {h_j}^{-1} = g' G {g'}^{-1}\)であることをステップ1の表現たちによって見る; ステップ3: \(\widetilde{h_j}\)を\(= g_j g'\)と表現する; ステップ4: \(\widetilde{h_j}^{-1} G \widetilde{h_j} = {g'}^{-1} G g'\)であることをステップ3の表現たちによって見る。
ステップ1:
\(h_1 = g' g_1\)、ある\(g_1 \in G\)に対して; \(h_2 = g' g_2\)、ある\(g_2 \in G\)に対して。
ステップ2:
\(h_j G {h_j}^{-1} = g' g_j G (g' g_j)^{-1} = g' g_j G {g_j}^{-1} {g'}^{-1} = g' (g_j G {g_j}^{-1}) {g'}^{-1} = g' G {g'}^{-1}\)、任意のグループ（群）に対して、任意の要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
したがって、\(h_1 G {h_1}^{-1} = g' G {g'}^{-1} = h_2 G {h_2}^{-1}\)。
ステップ3:
\(\widetilde{h_1} = g_1 g'\)、ある\(g_1 \in G\)に対して; \(\widetilde{h_2} = g_2 g'\)、ある\(g_2 \in G\)に対して。
ステップ4:
\(\widetilde{h_1}^{-1} G \widetilde{h_1} = (g_1 g')^{-1} G g_1 g' = g'^{-1} {g_1}^{-1} G g_1 g' = g'^{-1} ({g_1}^{-1} G g_1) g' = g'^{-1} G g'\)、任意のグループ（群）に対して、任意の要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
したがって、\(\widetilde{h_1}^{-1} G \widetilde{h_1} = g'^{-1} G g' = \widetilde{h_2}^{-1} G \widetilde{h_2}\)。
3: 注
上記ロジックが示しているとおり、インバース（逆）たち\(\widetilde{h_1}^{-1}\)および\(\widetilde{h_2}^{-1}\)を使うことが、右コセットに対しては肝要である。
1つの即座の系として、\(G\)は最大で\([G' : G]\)コンジュゲート（共役）たちを持つ: 任意のコンジュゲート（共役）を生成するためには、\(g'\)がある左コセット（剰余類）から選ばれる必要がある、しかし、各左コセット（剰余類）は1つのコンジュゲート（共役）のみを生成するから、最大\([G' : G]\)コンジュゲート（共役）たちのみがあり得る: 何らかの2つの左コセット（剰余類）たちが同一コンジュゲート（共役）を生成するかもしれない（特に、\(G\)がノーマルサブグループ（正規部分群）である時は、全ての左コセット（剰余類）たちが同一コンジュゲート（共役）\(G\)を生成する）。
