965: インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）は最大1つの非コンスタント（定数）で因子化できる

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インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）は最大1つの非コンスタント（定数）で因子化できることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
• 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義を知っている。
• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のユニットは非ゼロコンスタント（定数）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のイリデューシブル（約分不能）要素は最大1つの非コンスタント（定数）で因子化できるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}$
$R[x]$: $=R\text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }p(x)\in \{R[x]\text{ 上の全てのイリデューシブル（約分不能）たち }\}$
(
$p(x)=p^{\prime }(x)p^{″}(x)$
$⟹$
$p^{\prime }(x)\in \{R[x]\text{ 上の全てのコンスタント（定数）たち }\}\vee p^{″}(x)\in \{R[x]\text{ 上の全てのコンスタント（定数）たち }\}$
)
//

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2: 注

もしも、あなたが、"ステートメント（言明）たち"がいかに "最大1つの非コンスタント（定数）で因子化できる"に相当するのかと訝しんでいるとしたら、$p(x)=p^{\prime }(x)p^{″}(x)p^{‴}(x)$と仮定して、もしも、2つの非コンスタント（定数）因子たち、例えば、$p^{\prime }(x)$および$p^{‴}(x)$、があったとしたら、$p(x)=(p^{\prime }(x)p^{″}(x))p^{‴}(x)$、そして、$p^{\prime }(x)p^{″}(x)$も$p^{‴}(x)$もコンスタント（定数）でないということになる、"ステートメント（言明）たち"に反する矛盾。

コンスタント（定数）因子は全然ないかもしれない: $R$は必ずしもフィールド（体）ではないから、あるコンスタント（定数）$p(x)=p_0\in R[x]$はユニットではないかもしれない、したがって、$p_0$はイリデューシブル（約分不能）であるかもしれない、そして、$p_0=1p_0$、それは、非コンスタント（定数）因子を全く持たない因子化である。

本命題の逆は必ずしも成立しない: $R[x]$上の任意のユニット（それは、不可避にコンスタント（定数）である）は最大1（実のところ、0）個の非コンスタント（定数）で因子化できる、しかし、それはイリデューシブル（約分不能）ではない、なぜなら、イリデューシブル（約分不能）であることは非ユニットであることを要求する。

任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのイリデューシブル（約分不能）たちは、非コンスタント（定数）たちで1つだけの非コンスタント（定数）を持つ因子化だけができるものたち全てであるという命題と比較のこと。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $p(x)\in R[x]$は任意のイリデューシブル（約分不能）であるとし、$p(x)$は2つの非コンスタント（定数）たちで因子化されると仮定し、矛盾を見つける。

ステップ1:

$p(x)\in R[x]$は任意のイリデューシブル（約分不能）であるとしよう。

$p(x)=p^{\prime }(x)p^{″}(x)$、ここで、$p^{\prime }(x)$と$p^{″}(x)$の両方が非コンスタント（定数）たちであった、と仮定する。

任意のインテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のユニットは非ゼロコンスタント（定数）であるという命題によって、任意のユニットは非ゼロコンスタント（定数）である、そして、その対偶によって、任意の非コンスタント（定数）は決してユニットでない。

したがって、$p^{\prime }(x)$と$p^{″}(x)$の両方が非ユニットであった、$p(x)$がイリデューシブル（約分不能）であることに反する矛盾。

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参考資料

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