インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、ユニットは非ゼロコンスタント（定数）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
- 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）のユニットたちの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のユニットは非ゼロコンスタント（定数）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}\)
\(R [x]\): \(= R \text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\{R [x] \text{ の全てのユニットたち }\} \subseteq \{R [x] \text{ 内の全ての非ゼロコンスタント（定数）たち }\}\)
//
2: 注
\(R\)は必ずしもフィールド（体）ではないので、あるコンスタント（定数）はユニットではないかもしれない: ある\(p (x) = p_0 \in R [x]\)に対して、\(p_0 \in R\)はインバース（逆）を持たないかもしれない、すると、\(p (x) = p_0 \in R [x]\)はインバース（逆）を持たないことになる: 任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各ユニットは非ゼロコンスタント（定数）であることを見る。
ステップ1:
\(0 \in R [x]\)はユニットではない。
\(p (x) = p_n x^n + ... + p_0 \in R [x]\)、ここで、\(p_n \neq 0\)、は任意のユニットであるとしよう。
以下を満たすあるインバース（逆）\(p' (x) = p'_m x^n + ... + p'_0 \in R [x]\)、ここで、\(p'_m \neq 0\)、つまり、\(p (x) p' (x) = p' (x) p (x) = 1\)、がある。
\(p (x) p' (x)\)は\(p_n p'_m x^{n + m}\)項を持つ、しかし、\(p_n p'_m \neq 0\)、なぜなら、\(R\)はインテグラルドメイン（整域）である。
したがって、\(n + m = 0\)、なぜなら、\(p (x) p' (x) = 1\)。それが意味するのは、\(n = 0\)および\(m = 0\)、それが意味するのは、\(p (x)\)は非ゼロコンスタント（定数）であるということ。
