962: インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、ユニットは非ゼロコンスタント（定数）である

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インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、ユニットは非ゼロコンスタント（定数）であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
• 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）のユニットたちの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のユニットは非ゼロコンスタント（定数）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}$
$R[x]$: $=R\text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\{R[x]\text{ の全てのユニットたち }\}\subseteq \{R[x]\text{ 内の全ての非ゼロコンスタント（定数）たち }\}$
//

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2: 注

$R$は必ずしもフィールド（体）ではないので、あるコンスタント（定数）はユニットではないかもしれない: ある$p(x)=p_0\in R[x]$に対して、$p_0\in R$はインバース（逆）を持たないかもしれない、すると、$p(x)=p_0\in R[x]$はインバース（逆）を持たないことになる: 任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題と比較のこと。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 各ユニットは非ゼロコンスタント（定数）であることを見る。

ステップ1:

$0\in R[x]$はユニットではない。

$p(x)=p_n{x}^n+...+p_0\in R[x]$、ここで、$p_n\ne 0$、は任意のユニットであるとしよう。

以下を満たすあるインバース（逆）$p^{\prime }(x)=p_m^{\prime }{x}^n+...+p_0^{\prime }\in R[x]$、ここで、$p_m^{\prime }\ne 0$、つまり、$p(x)p^{\prime }(x)=p^{\prime }(x)p(x)=1$、がある。

$p(x)p^{\prime }(x)$は$p_n{p}_m^{\prime }{x}^{n+m}$項を持つ、しかし、$p_n{p}_m^{\prime }\ne 0$、なぜなら、$R$はインテグラルドメイン（整域）である。

したがって、$n+m=0$、なぜなら、$p(x)p^{\prime }(x)=1$。それが意味するのは、$n=0$および$m=0$、それが意味するのは、$p(x)$は非ゼロコンスタント（定数）であるということ。

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参考資料

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