963: フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、ユニットたちは非ゼロコンスタント（定数）たちである

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フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、ユニットたちは非ゼロコンスタント（定数）たちであることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）のユニットたちの定義を知っている。
• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のユニットは非ゼロコンスタント（定数）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$F[x]$: $=F\text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\{F[x]\text{ の全てのユニットたち }\}=\{F[x]\text{ 内の全ての非ゼロコンスタント（定数）たち }\}$
//

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2: 注

$F$が単にインテグラルドメイン（整域）である時は、ある非ゼロコンスタント（定数）はユニットではないかもしれない: ある$p(x)=p_0\in F[x]$に対して、$p_0\in F$はインバース（逆）を持たないかもしれず、すると、$p(x)=p_0\in F[x]$はインバース（逆）を持たないことになる: 任意のインテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のユニットは非ゼロコンスタント（定数）であるという命題と比較のこと。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 各ユニットは非ゼロコンスタント（定数）であることを見る; ステップ2: 各非ゼロコンスタント（定数）はユニットであることを見る。

ステップ1:

任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）であるから、各ユニットは非ゼロコンスタント（定数）である、任意のインテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のユニットは非ゼロコンスタント（定数）であるという命題によって。

ステップ2:

$p(x)=p_0{x}^0\in F[x]$は任意の非ゼロコンスタント（定数）とする: 私たちは"$p_0{x}^0$"のような表記たちを用いるが、それは通常$p_0$として書かれる: 私たちがそういう表記たちを用いるのは、$p_0\in F$と$p_0\in F[x]$を区別するためである。

$p_0\in F$で$F$はフィールド（体）であるから、インバース（逆）$p_0^{-1}\in F$がある。$p_0^{-1}{x}^0\in F[x]$および$p_0{x}^0{p}_0^{-1}{x}^0=p_0{p}_0^{-1}{x}^0=1x^0$および$p_0^{-1}{x}^0{p}_0{x}^0=p_0^{-1}{p}_0{x}^0=1x^0$。

$1x^0$は$F[x]$のアイデンティティ（単位）要素であるから、$p_0^{-1}{x}^0$は$p_0{x}^0$のインバース（逆）である。

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参考資料

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