フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、ユニットたちは非ゼロコンスタント（定数）たちであることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）のユニットたちの定義を知っている。
- 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のユニットは非ゼロコンスタント（定数）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(F [x]\): \(= F \text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\{F [x] \text{ の全てのユニットたち }\} = \{F [x] \text{ 内の全ての非ゼロコンスタント（定数）たち }\}\)
//
2: 注
\(F\)が単にインテグラルドメイン（整域）である時は、ある非ゼロコンスタント（定数）はユニットではないかもしれない: ある\(p (x) = p_0 \in F [x]\)に対して、\(p_0 \in F\)はインバース（逆）を持たないかもしれず、すると、\(p (x) = p_0 \in F [x]\)はインバース（逆）を持たないことになる: 任意のインテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のユニットは非ゼロコンスタント（定数）であるという命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各ユニットは非ゼロコンスタント（定数）であることを見る; ステップ2: 各非ゼロコンスタント（定数）はユニットであることを見る。
ステップ1:
任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）であるから、各ユニットは非ゼロコンスタント（定数）である、任意のインテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のユニットは非ゼロコンスタント（定数）であるという命題によって。
ステップ2:
\(p (x) = p_0 x^0 \in F [x]\)は任意の非ゼロコンスタント（定数）とする: 私たちは"\(p_0 x^0\)"のような表記たちを用いるが、それは通常\(p_0\)として書かれる: 私たちがそういう表記たちを用いるのは、\(p_0 \in F\)と\(p_0 \in F [x]\)を区別するためである。
\(p_0 \in F\)で\(F\)はフィールド（体）であるから、インバース（逆）\(p_0^{-1} \in F\)がある。\(p_0^{-1} x^0 \in F [x]\)および\(p_0 x^0 p_0^{-1} x^0 = p_0 p_0^{-1} x^0 = 1 x^0\)および\(p_0^{-1} x^0 p_0 x^0 = p_0^{-1} p_0 x^0 = 1 x^0\)。
\(1 x^0\)は\(F [x]\)のアイデンティティ（単位）要素であるから、\(p_0^{-1} x^0\)は\(p_0 x^0\)のインバース（逆）である。
