930: シンプリシャルコンプレックスおよびそのサブコンプレックスたちに対して、サブコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）である

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シンプリシャルコンプレックスおよびそのサブコンプレックスたちに対して、サブコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
• 読者は、任意の2つのシンプリシャルコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプリシャルコンプレックスであり、当該インターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素シンプリシャルコンプレックスたちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているが、必ずしも等しくはないという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のシンプリシャルコンプレックスおよびその任意のサブコンプレックスたちに対して、当該サブコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は当該構成要素サブコンプレックスたちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$C^{\prime }$: $\in \{V\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}$
$C_1$: $\in \{C^{\prime }\text{ の全てのサブコンプレックスたち }\}$
$C_2$: $\in \{C^{\prime }\text{ の全てのサブコンプレックスたち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$C_1\cap C_2\in \{V\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}$
$\wedge$
$|C_1\cap C_2|=|C_1|\cap |C_2|$
//

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、任意のシンプリシャルコンプレックス$C^{\prime }$、$C^{\prime }$の任意のサブコンプレックスたち$C_1,C_2$に対して、$C_1\cap C_2$は$V$上のシンプリシャルコンプレックスである、そして、$|C_1\cap C_2|=|C_1|\cap |C_2|$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $C_1\cap C_2$は$V$上のシンプリシャルコンプレックスであり、$|C_1\cap C_2|\subseteq |C_1|\cap |C_2|$であることを見る; ステップ2: $|C_1|\cap |C_2|\subseteq |C_1\cap C_2|$であることを見る。

ステップ1:

これは、任意の2つのシンプリシャルコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプリシャルコンプレックスであり、当該インターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素シンプリシャルコンプレックスたちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているが、必ずしも等しくはないという命題の特別のケースである、したがって、$C_1\cap C_2$は$V$上のシンプリシャルコンプレックスであり、$|C_1\cap C_2|\subseteq |C_1|\cap |C_2|$。

ステップ2:

$|C_1|\cap |C_2|\subseteq |C_1\cap C_2|$であることを見よう。

$p\in |C_1|\cap |C_2|$は任意のものであるとしよう。$p\in |C_1|$。以下を満たすある$S_1\in C_1$、つまり、$p\in S_1$、がある。同様に、以下を満たすある$S_2\in C_2$、つまり、$p\in S_2$、がある。したがって、$p\in S_1\cap S_2$。

$S_1,S_2\in C^{\prime }$であるから、$S_1\cap S_2$は$S_1$のフェイスである。$S_1\in C_1$であるから、$S_1\cap S_2\in C_1$。同様に、$S_1\cap S_2\in C_2$。したがって、$S_1\cap S_2\in C_1\cap C_2$。$p\in S_1\cap S_2\in C_1\cap C_2$であるから、$p\in |C_1\cap C_2|$。

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参考資料

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