929: シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）は必ずしもシンプリシャルコンプレックスではない

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シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）は必ずしもシンプリシャルコンプレックスではないことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）は必ずしもシンプリシャルコンプレックスではないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V_1$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$C_1$: $\in \{V_1\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}$
$C_2$: $\in \{V_2\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$V_1\in \{V_2\text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\}\vee V_2\in \{V_1\text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\}$
$⟹$
必ずしも以下ではない、$C_1\cup C_2\in \{V_1\cup V_2\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}$
//

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2: 自然言語記述

以下を満たす任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち$V_1,V_2$、つまり、$V_1$は$V_2$のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、または、$V_2$は$V_1$のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、任意のシンプリシャルコンプレックスたち$V_1$上の$C_1$および$V_2$上の$C_2$に対して、$C_1\cup C_2$は必ずしも$V_1\cup V_2$上のシンプリシャルコンプレックスではない。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 1つの反例を見る。

ステップ1:

1つの反例で十分である。

$V_1=V_2={\mathbb{R}}^2$で、$C_1$は1つの2-シンプレックス（単体）$S_1$（およびそのフェイスたち）からなり、$C_2$は1つの2-シンプレックス（単体）$S_2$で、$S_1$のあるバーテックス（頂点）とあるエッジ（辺）（それは当該バーテックス（頂点）を包含する）の1部分のみを共有するもの（およびそのフェイスたち）からなるとしよう。すると、$C_1\cup C_2$は$S_1$と$S_2$（およびそれらのフェイスたち）からなるが、$S_1\cap S_2$は$S_1$の部分的エッジ（辺）であり、それは$S_1$のフェイス（辺）ではない。

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参考資料

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