981: グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）が1サブグループ（部分群）である場合、そしてその場合に限って

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グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）が1サブグループ（部分群）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）が1サブグループ（部分群）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G_1$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$G_2$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$f$: $:G_1\to G_2$, $\in \{\text{ 全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$Ker(f)=\{1\}$
$⟺$
$f\in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $Ker(f)=\{1\}$であると仮定し、以下を満たす任意の$g,g^{\prime }\in G_1$、つまり、$g\ne g^{\prime }$、を取り、$f(g)=f(g^{\prime })$と仮定し、矛盾を見つける; ステップ2: $f$はインジェクティブ（単射）であると仮定し、$Ker(f)=\{1\}$であることを見る。

ステップ1:

$Ker(f)=\{1\}$であると仮定する。

$g,g^{\prime }\in G_1$を$g\ne g^{\prime }$を満たす任意のものとしよう。

$f(g)=f(g^{\prime })$であると仮定し、矛盾を見つける。

$1=f(g)f(g^{\prime }{)}^{-1}=f(g)f(g^{\prime -1})=f(g{g}^{\prime -1})$、それが含意するのは、$g{g}^{\prime -1}=1$、それが含意するのは、$g=g^{\prime }$、矛盾。

ステップ2:

$f$はインジェクティブ（単射）であると仮定しよう。

$f(1)=1$。

以下を満たすある$g\in G_1$、つまり、$f(g)=1$、があると仮定しよう。$f(1)=1$であり$f$はインジェクティブ（単射）であるから、$1$より他の$g$はない、それが意味するのは、$Ker(f)=\{1\}$。

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参考資料

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