グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）が1サブグループ（部分群）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）が1サブグループ（部分群）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G_1\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(f\): \(: G_1 \to G_2\), \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Ker (f) = \{1\}\)
\(\iff\)
\(f \in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Ker (f) = \{1\}\)であると仮定し、以下を満たす任意の\(g, g' \in G_1\)、つまり、\(g \neq g'\)、を取り、\(f (g) = f (g')\)と仮定し、矛盾を見つける; ステップ2: \(f\)はインジェクティブ（単射）であると仮定し、\(Ker (f) = \{1\}\)であることを見る。
ステップ1:
\(Ker (f) = \{1\}\)であると仮定する。
\(g, g' \in G_1\)を\(g \neq g'\)を満たす任意のものとしよう。
\(f (g) = f (g')\)であると仮定し、矛盾を見つける。
\(1 = f (g) f (g')^{-1} = f (g) f (g'^{-1}) = f (g g'^{-1})\)、それが含意するのは、\(g g'^{-1} = 1\)、それが含意するのは、\(g = g'\)、矛盾。
ステップ2:
\(f\)はインジェクティブ（単射）であると仮定しよう。
\(f (1) = 1\)。
以下を満たすある\(g \in G_1\)、つまり、\(f (g) = 1\)、があると仮定しよう。\(f (1) = 1\)であり\(f\)はインジェクティブ（単射）であるから、\(1\)より他の\(g\)はない、それが意味するのは、\(Ker (f) = \{1\}\)。
