941: グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のノーマルサブグループ（正規部分群）である

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グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）の定義を知っている。
• 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G_1$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$G_2$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$f$: $:G_1\to G_2$, $\in \{\text{ 全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}$
$Ker(f)$: $=f\text{ のカーネル（核） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$Ker(f)\in \{G_1\text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $Ker(f)$は$G_1$のサブグループ（部分群）であることを見る; ステップ2: 任意の$g_1\in G_1$に対して、$g_{1}Ker(f){g_1}^{-1}=Ker(f)$であることを見る。

ステップ1:

任意の要素たち$g_1,g_2\in Ker(f)$に対して、$g_1{g}_2\in Ker(f)$、なぜなら、$f(g_1{g}_2)=f(g_1)f(g_2)=11=1$。

$1\in Ker(f)$、なぜなら、$f(1)=1$。

任意の要素$g\in Ker(f)$に対して、$g^{-1}\in Ker(f)$、なぜなら、$f(g^{-1})={f(g)}^{-1}=1^{-1}=1$。

$Ker(f)$はアソシアティブ（結合）法則を満たす、なぜなら、当該要素たちは$G_1$の要素たちであり、当該オペレーションは$G_1$のそれから継承されたものである。

したがって、$Ker(f)$は$G_1$のサブグループ（部分群）である。

ステップ2:

任意の$g_1\in G_1$に対して、$g_{1}Ker(f){g_1}^{-1}=Ker(f)$？

任意の$g_2\in g_{1}Ker(f){g_1}^{-1}$に対して、$g_2=g_1{g}_3{g_1}^{-1}$、ある$g_3\in Ker(f)$に対して。$f(g_2)=f(g_1)f(g_3)f({g_1}^{-1})=f(g_1)1f({g_1}^{-1})=f(g_1){f(g_1)}^{-1}=1$。したがって、$g_2\in Ker(f)$。任意の$g_2\in Ker(f)$に対して、$g_3:={g_1}^{-1}{g}_2{g}_1\in G_1$を定義しょう。$g_2=g_1{g}_3{g_1}^{-1}$。$f(g_3)=f({g_1}^{-1})f(g_2)f(g_1)={f(g_1)}^{-1}1f(g_1)=1$。したがって、$g_3\in Ker(f)$、そして、$g_2\in g_{1}Ker(f){g_1}^{-1}$。

したがって、はい、$g_{1}Ker(f){g_1}^{-1}=Ker(f)$。

したがって、$Ker(f)$は$G_1$のノーマルサブグループ（正規部分群）である。

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参考資料

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