\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( (T M, M, \pi)\): \(= M \text{ 上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束） }\)
\( V_1\): \(: M \to T M\), \(\in \{M \text{ 上の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちフィールド（場）たち }\}\)
\( V_2\): \(: M \to T M\), \(\in \{M \text{ 上の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちフィールド（場）たち }\}\)
\(*[V_1, V_2]\): \(= V_1 V_2 - V_2 V_1\), \(\in \{M \text{ 上の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちフィールド（場）たち }\}\)
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コンディションたち:
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2: 注
\([V_1, V_2]\)は本当に\(M\)上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）であることを見よう。
各\(m \in M\)において、\([V_1, V_2]_m\)は本当にタンジェント（接）ベクトルであることを見よう、それは、それは\(C^\infty\)ファンクション（関数）たちのデリベイション（微分）であるという問題である。
\(f \in C^\infty (M)\)は任意としよう。
第1に、\(V_1 V_2 - V_2 V_1\)の意味を理解しよう。任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(V_2 (f), V_1 (f) \in C^\infty (M)\)、したがって、\(V_1 (V_2 (f)) - V_2 (V_1 (f))\)は可能である。\(m\)における\(V_1 (V_2 (f))\)に対して、\(V_2\)をベクトルたちフィールド（場）として必要とする（単に\(m\)におけるタンジェント（接）ベクトルとしてではなく）、なぜなら、\(V_2 (f)\)をファンクション（関数）として必要とする（単に\(m\)におけるナンバー（数）としてでなく）、しかし、\(V_1\)は\(m\)におけるタンジェント（接）ベクトルとしてのみ必要とする、そして、\(V_2 (V_1 (f))\)に対しても同様、したがって、\([V_1, V_2]_m\)を\(V_{1, m} V_2 - V_{2, m} V_1\)と書ける。
\([V_1, V_2]_m (f_1 f_2) = (V_{1, m} V_2 - V_{2, m} V_1) (f_1 f_2) = V_{1, m} V_2 (f_1 f_2) - V_{2, m} V_1 (f_1 f_2) = V_{1, m} (V_2 (f_1) f_2 + f_1 V_2 (f_2)) - V_{2, m} (V_1 (f_1) f_2 + f_1 V_1 (f_2)) = V_{1, m} (V_2 (f_1)) f_2 + V_2 (f_1) V_{1, m} (f_2) + V_{1, m} (f_1) V_2 (f_2) + f_1 V_{1, m} (V_2 (f_2)) - (V_{2, m} (V_1 (f_1)) f_2 + V_1 (f_1) V_{2, m} (f_2) + V_{2, m} (f_1) V_1 (f_2) + f_1 V_{2, m} (V_1 (f_2))) = V_{1, m} (V_2 (f_1)) f_2 - V_{2, m} (V_1 (f_1)) f_2 - (f_1 V_{2, m} (V_1 (f_2)) - f_1 V_{1, m} (V_2 (f_2))) = (V_{1, m} (V_2 (f_1)) - V_{2, m} (V_1 (f_1))) f_2 - (f_1 (V_{2, m} (V_1 (f_2)) - V_{1, m} (V_2 (f_2)))) = (V_{1, m} V_2 - V_{2, m} V_1) (f_1) f_2 - f_1 (V_{2, m} V_1 - V_{1, m} V_2) (f_2) = (V_{1, m} V_2 - V_{2, m} V_1) (f_1) f_2 + f_1 (V_{1, m} V_2 - V_{2, m} V_1) (f_2) = [V_1, V_2] (f_1) f_2 + f_1 [V_1, V_2] (f_2)\)。
\([V_1, V_2]\)は\(C^\infty\)である、任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
当該リーブラケットでもって、\(M\)上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちのセット（写像）\(\Gamma (T M)\)は\(\mathbb{R}\)リーアルジェブラ（多元環）である: \(\Gamma (T M)\)は\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）である; 各\(V_1, V_2, V_3 \in \Gamma (T M)\)および各\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、1) \([r_1 V_1 + r_2 V_2, V_3] = (r_1 V_1 + r_2 V_2) V_3 - V_3 (r_1 V_1 + r_2 V_2) = r_1 V_1 V_3 + r_2 V_2 V_3 - r_1 V_3 V_1 - r_2 V_3 V_2 = r_1 (V_1 V_3 - V_3 V_1) + r_2 (V_2 V_3 - V_3 V_2) = r_1 [V_1, V_3] + r_2 [V_2, V_3]\) \(\land\) \([V_3, r_1 V_1 + r_2 V_2] = V_3 (r_1 V_1 + r_2 V_2) - (r_1 V_1 + r_2 V_2) V_3 = r_1 V_3 V_1 - r_1 V_1 V_3 + r_2 V_3 V_2 - r_2 V_2 V_3 = r_1 (V_3 V_1 - V_1 V_3) + r_2 (V_3 V_2 - V_2 V_3) = r_1 [V_3, V_1] + r_2 [V_3, V_2]\); 2) \([V_2, V_1] = V_2 V_1 - V_1 V_2 = - (V_1 V_2 - V_2 V_1) = - [V_1, V_2]\); 3) \(\sum_{cyclic} [V_1, [V_2, V_3]] = [V_1, [V_2, V_3]] + [V_3, [V_1, V_2]] + [V_2, [V_3, V_1]] = [V_1, V_2 V_3 - V_3 V_2] + [V_3, V_1 V_2 - V_2 V_1] + [V_2, V_3 V_1 - V_1 V_3] = V_1 (V_2 V_3 - V_3 V_2) - (V_2 V_3 - V_3 V_2) V_1 + V_3 (V_1 V_2 - V_2 V_1) - (V_1 V_2 - V_2 V_1) V_3 + V_2 (V_3 V_1 - V_1 V_3) - (V_3 V_1 - V_1 V_3) V_2 = 0\)。
単に\(V_1 V_2\)でなく\([V_1, V_2]\)を取る主な理由は、\(V_1 V_2\)は\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）ではないということ: それはデリベイション（微分）ではない: 単に\(C^\infty\)ファンクション（関数）を取って\(C^\infty\)ファンクション（関数）を生成するからと言って、それが\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）であるというわけではない。
