937: $C^\infty$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の$C^\infty$ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）|T.B.P.日本語版

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C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の

C^{\infty}

ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）の定義

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 構造化された記述
2: 注

開始コンテキスト

読者は、 $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の $C^{\infty}$ ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、 $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の $C^{\infty}$ ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）の定義を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

M

\in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

(T M, M, π)

= M 上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）

V_{1}

: M \to T M

\in {M 上の全ての C^{\infty} ベクトルたちフィールド（場）たち}

V_{2}

: M \to T M

\in {M 上の全ての C^{\infty} ベクトルたちフィールド（場）たち}

* [V_{1}, V_{2}]

= V_{1} V_{2} - V_{2} V_{1}

\in {M 上の全ての C^{\infty} ベクトルたちフィールド（場）たち}

//

コンディションたち:
//

2: 注

[V_{1}, V_{2}]

は本当に

M

上の

C^{\infty}

ベクトルたちフィールド（場）であることを見よう。

各

m \in M

において、

[V_{1}, V_{2}]_{m}

は本当にタンジェント（接）ベクトルであることを見よう、それは、それは

C^{\infty}

ファンクション（関数）たちのデリベイション（微分）であるという問題である。

f \in C^{\infty} (M)

は任意としよう。

第1に、

V_{1} V_{2} - V_{2} V_{1}

の意味を理解しよう。任意のベクトルたちフィールド（場）は

C^{\infty}

である、もしも、任意の

C^{\infty}

ファンクション（関数）へのオペレーション結果が

C^{\infty}

である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、

V_{2} (f), V_{1} (f) \in C^{\infty} (M)

、したがって、

V_{1} (V_{2} (f)) - V_{2} (V_{1} (f))

は可能である。

m

における

V_{1} (V_{2} (f))

に対して、

V_{2}

をベクトルたちフィールド（場）として必要とする（単に

m

におけるタンジェント（接）ベクトルとしてではなく）、なぜなら、

V_{2} (f)

をファンクション（関数）として必要とする（単に

m

におけるナンバー（数）としてでなく）、しかし、

V_{1}

は

m

におけるタンジェント（接）ベクトルとしてのみ必要とする、そして、

V_{2} (V_{1} (f))

に対しても同様、したがって、

[V_{1}, V_{2}]_{m}

を

V_{1, m} V_{2} - V_{2, m} V_{1}

と書ける。

[V_{1}, V_{2}]_{m} (f_{1} f_{2}) = (V_{1, m} V_{2} - V_{2, m} V_{1}) (f_{1} f_{2}) = V_{1, m} V_{2} (f_{1} f_{2}) - V_{2, m} V_{1} (f_{1} f_{2}) = V_{1, m} (V_{2} (f_{1}) f_{2} + f_{1} V_{2} (f_{2})) - V_{2, m} (V_{1} (f_{1}) f_{2} + f_{1} V_{1} (f_{2})) = V_{1, m} (V_{2} (f_{1})) f_{2} + V_{2} (f_{1}) V_{1, m} (f_{2}) + V_{1, m} (f_{1}) V_{2} (f_{2}) + f_{1} V_{1, m} (V_{2} (f_{2})) - (V_{2, m} (V_{1} (f_{1})) f_{2} + V_{1} (f_{1}) V_{2, m} (f_{2}) + V_{2, m} (f_{1}) V_{1} (f_{2}) + f_{1} V_{2, m} (V_{1} (f_{2}))) = V_{1, m} (V_{2} (f_{1})) f_{2} - V_{2, m} (V_{1} (f_{1})) f_{2} - (f_{1} V_{2, m} (V_{1} (f_{2})) - f_{1} V_{1, m} (V_{2} (f_{2}))) = (V_{1, m} (V_{2} (f_{1})) - V_{2, m} (V_{1} (f_{1}))) f_{2} - (f_{1} (V_{2, m} (V_{1} (f_{2})) - V_{1, m} (V_{2} (f_{2})))) = (V_{1, m} V_{2} - V_{2, m} V_{1}) (f_{1}) f_{2} - f_{1} (V_{2, m} V_{1} - V_{1, m} V_{2}) (f_{2}) = (V_{1, m} V_{2} - V_{2, m} V_{1}) (f_{1}) f_{2} + f_{1} (V_{1, m} V_{2} - V_{2, m} V_{1}) (f_{2}) = [V_{1}, V_{2}] (f_{1}) f_{2} + f_{1} [V_{1}, V_{2}] (f_{2})

。

[V_{1}, V_{2}]

は

C^{\infty}

である、任意のベクトルたちフィールド（場）は

C^{\infty}

である、もしも、任意の

C^{\infty}

ファンクション（関数）へのオペレーション結果が

C^{\infty}

である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

当該リーブラケットでもって、

M

上の

C^{\infty}

ベクトルたちフィールド（場）たちのセット（写像）

Γ (T M)

は

R

リーアルジェブラ（多元環）である:

Γ (T M)

は

R

ベクトルたちスペース（空間）である; 各

V_{1}, V_{2}, V_{3} \in Γ (T M)

および各

r_{1}, r_{2} \in R

に対して、1)

[r_{1} V_{1} + r_{2} V_{2}, V_{3}] = (r_{1} V_{1} + r_{2} V_{2}) V_{3} - V_{3} (r_{1} V_{1} + r_{2} V_{2}) = r_{1} V_{1} V_{3} + r_{2} V_{2} V_{3} - r_{1} V_{3} V_{1} - r_{2} V_{3} V_{2} = r_{1} (V_{1} V_{3} - V_{3} V_{1}) + r_{2} (V_{2} V_{3} - V_{3} V_{2}) = r_{1} [V_{1}, V_{3}] + r_{2} [V_{2}, V_{3}]

\land

[V_{3}, r_{1} V_{1} + r_{2} V_{2}] = V_{3} (r_{1} V_{1} + r_{2} V_{2}) - (r_{1} V_{1} + r_{2} V_{2}) V_{3} = r_{1} V_{3} V_{1} - r_{1} V_{1} V_{3} + r_{2} V_{3} V_{2} - r_{2} V_{2} V_{3} = r_{1} (V_{3} V_{1} - V_{1} V_{3}) + r_{2} (V_{3} V_{2} - V_{2} V_{3}) = r_{1} [V_{3}, V_{1}] + r_{2} [V_{3}, V_{2}]

; 2)

[V_{2}, V_{1}] = V_{2} V_{1} - V_{1} V_{2} = - (V_{1} V_{2} - V_{2} V_{1}) = - [V_{1}, V_{2}]

; 3)

\sum_{c y c l i c} [V_{1}, [V_{2}, V_{3}]] = [V_{1}, [V_{2}, V_{3}]] + [V_{3}, [V_{1}, V_{2}]] + [V_{2}, [V_{3}, V_{1}]] = [V_{1}, V_{2} V_{3} - V_{3} V_{2}] + [V_{3}, V_{1} V_{2} - V_{2} V_{1}] + [V_{2}, V_{3} V_{1} - V_{1} V_{3}] = V_{1} (V_{2} V_{3} - V_{3} V_{2}) - (V_{2} V_{3} - V_{3} V_{2}) V_{1} + V_{3} (V_{1} V_{2} - V_{2} V_{1}) - (V_{1} V_{2} - V_{2} V_{1}) V_{3} + V_{2} (V_{3} V_{1} - V_{1} V_{3}) - (V_{3} V_{1} - V_{1} V_{3}) V_{2} = 0

。

単に

V_{1} V_{2}

でなく

[V_{1}, V_{2}]

を取る主な理由は、

V_{1} V_{2}

は

C^{\infty}

ベクトルたちフィールド（場）ではないということ: それはデリベイション（微分）ではない: 単に

C^{\infty}

ファンクション（関数）を取って

C^{\infty}

ファンクション（関数）を生成するからと言って、それが

C^{\infty}

ベクトルたちフィールド（場）であるというわけではない。

参考資料

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2025年1月7日火曜日