938: 2つのポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）たちでそれらの最大公約数が1であるものに対して、インテジャー（整数）たちモジュロナンバー（自然数）たちの積グループ（群）は、インテジャー（整数）たちモジュロ第1ナンバー（数）グループ（群）とインテジャー（整数）たちモジュロ第2ナンバー（数）グループ（群）のダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である

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2つのポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）たちでそれらの最大公約数が1であるものに対して、インテジャー（整数）たちモジュロナンバー（自然数）たちの積グループ（群）は、インテジャー（整数）たちモジュロ第1ナンバー（数）グループ（群）とインテジャー（整数）たちモジュロ第2ナンバー（数）グループ（群）のダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクトの定義を知っている。
• 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の2つのポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）たちでそれらの最大公約数が1であるものに対して、インテジャー（整数）たちモジュロ当該ナンバー（自然数）たちの積グループ（群）は、インテジャー（整数）たちモジュロ第1ナンバー（数）グループ（群）とインテジャー（整数）たちモジュロ第2ナンバー（数）グループ（群）のダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\{n_1,n_2\}$: $\subseteq \mathbb{N}\setminus \{0\}$
${\mathbb{Z}}_{n_1{n}_2}$: $=\text{ インテジャー（整数）たちモジュロ }{n}_1{n}_2\text{ グループ（群） }$
${\mathbb{Z}}_{n_1}$: $=\text{ インテジャー（整数）たちモジュロ }{n}_1\text{ グループ（群） }$
${\mathbb{Z}}_{n_2}$: $=\text{ インテジャー（整数）たちモジュロ }{n}_2\text{ グループ（群） }$
${\mathbb{Z}}_{n_1}\times {\mathbb{Z}}_{n_2}$: $=\text{ 当該ダイレクトプロダクト }$
//

ステートメント（言明）たち:
$gcd(n_1,n_2)=1$
$⟹$
${\mathbb{Z}}_{n_1{n}_2}{\cong }_{\mathrm{グ}\mathrm{ル}\mathrm{ー}\mathrm{プ}（\mathrm{群}）\mathrm{た}\mathrm{ち}}{\mathbb{Z}}_{n_1}\times {\mathbb{Z}}_{n_2}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: アイソモーフィック（同形写像）にしようとする$f:{\mathbb{Z}}_{n_1}\times {\mathbb{Z}}_{n_2}\to {\mathbb{Z}}_{n_1{n}_2}$を定義する; ステップ2: $f$は本当に'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る。

ステップ1:

アイソモーフィック（同形写像）にしようとする$f:{\mathbb{Z}}_{n_1}\times {\mathbb{Z}}_{n_2}\to {\mathbb{Z}}_{n_1{n}_2}$を定義しよう。

考えてみると、唯一のオプションしかない: $([0],[0])=([0],[n_2])$は$[0]$へマップされる必要があるから、$f$がグループ（群）ホモモーフィック（準同形写像）であるためには、$([0],[1])$は$[(n_1{n}_2)/n_2]=[n_1]$へマップされる必要があり、同様に、$([1],[0])$は$[(n_1{n}_2)/n_1]=[n_2]$へマップされる必要がある。

それをリニア（線形）に拡張すると、$([j],[k])$は$[j{n}_2+k{n}_1]$へマップされる。

それは本当にウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。

$([j],[k])=([j+n_1{l}_1],[k+n_2{l}_2])$に対して、$[(j+n_1{l}_1)n_2+(k+n_2{l}_2)n_1]=[j{n}_2+k{n}_1+n_1{l}_1{n}_2+n_2{l}_2{n}_1]=[j{n}_2+k{n}_1+n_1{n}_2(l_1+l_2)]=[j{n}_2+k{n}_1]$、したがって、当該マッピングは代表たちに依存しない。

ステップ2:

$f$は本当に'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見よう。

第1に、$f$はグループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見よう。

各$([j],[k]),([j^{\prime }],[k^{\prime }])$に対して、$f(([j],[k])+([j^{\prime }],[k^{\prime }]))=f(([j+j^{\prime }],[k+k^{\prime }]))=[(j+j^{\prime })n_2+(k+k^{\prime })n_1]=[j{n}_2+k{n}_1+j^{\prime }{n}_2+k^{\prime }{n}_1]=[j{n}_2+k{n}_1]+[j^{\prime }{n}_2+k^{\prime }{n}_1]=f(([j],[k]))+f(([j^{\prime }],[k^{\prime }]))$。

したがって、$f$はグループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。

$f$はインジェクティブ（単射）であることを見よう。

任意の$([j],[k]),([j^{\prime }],[k^{\prime }])\in {\mathbb{Z}}_{n_1}\times {\mathbb{Z}}_{n_2}$に対して、$f(([j],[k]))=f(([j^{\prime }],[k^{\prime }]))$であると仮定しよう。

$[j{n}_2+k{n}_1]=f(([j],[k]))=f(([j^{\prime }],[k^{\prime }]))=[j^{\prime }{n}_2+k^{\prime }{n}_1]$、それが意味するのは、$j{n}_2+k{n}_1=j^{\prime }{n}_2+k^{\prime }{n}_1+l{n}_1{n}_2$、ある$l\in \mathbb{Z}$に対して。

$(j-j^{\prime })n_2=(k^{\prime }-k)n_1+l{n}_1{n}_2$。

さて、$gcd(n_1,n_2)=1$であるから、$n_1$および$n_2$がプライムナンバー（素数）たちに因数分解された時、$n_1$と$n_2$は共有のプライムナンバー（素数）を持たない。$(k^{\prime }-k)n_1+l{n}_1{n}_2$は$n_1$の倍数であるから、$(j-j^{\prime })n_2$は$n_1$の倍数である、しかし、$n_2$は$n_1$と共有するプライムファクター（因数）を持たないから、$j-j^{\prime }$が$n_1$の全てのプライムファクター（素因数）たちをもたなければならない、それが意味するのは、$j-j^{\prime }$は$n_1$の倍数であるということ、それが意味するのは、$[j]=[j^{\prime }]$。同様に、$[k]=[k^{\prime }]$。

したがって、$([j],[k])=([j^{\prime }],[k^{\prime }])$。

したがって、$f$はインジェクティブ（単射）である。

$|{\mathbb{Z}}_{n_1}\times {\mathbb{Z}}_{n_2}|=n_1{n}_2=|{\mathbb{Z}}_{n_1{n}_2}|$であるから、インジェクティブ（単射）な$f$はサージェクティブ（全射）である。

したがって、$f$は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

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参考資料

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