2つのポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）たちでそれらの最大公約数が1であるものに対して、インテジャー（整数）たちモジュロナンバー（自然数）たちの積グループ（群）は、インテジャー（整数）たちモジュロ第1ナンバー（数）グループ（群）とインテジャー（整数）たちモジュロ第2ナンバー（数）グループ（群）のダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクトの定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2つのポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）たちでそれらの最大公約数が1であるものに対して、インテジャー（整数）たちモジュロ当該ナンバー（自然数）たちの積グループ（群）は、インテジャー（整数）たちモジュロ第1ナンバー（数）グループ（群）とインテジャー（整数）たちモジュロ第2ナンバー（数）グループ（群）のダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{n_1, n_2\}\): \(\subseteq \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{Z}_{n_1 n_2}\): \(= \text{ インテジャー（整数）たちモジュロ } n_1 n_2 \text{ グループ（群） }\)
\(\mathbb{Z}_{n_1}\): \(= \text{ インテジャー（整数）たちモジュロ } n_1 \text{ グループ（群） }\)
\(\mathbb{Z}_{n_2}\): \(= \text{ インテジャー（整数）たちモジュロ } n_2 \text{ グループ（群） }\)
\(\mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2}\): \(= \text{ 当該ダイレクトプロダクト }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(gcd (n_1, n_2) = 1\)
\(\implies\)
\(\mathbb{Z}_{n_1 n_2} \cong_{グループ（群）たち} \mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: アイソモーフィック（同形写像）にしようとする\(f: \mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2} \to \mathbb{Z}_{n_1 n_2}\)を定義する; ステップ2: \(f\)は本当に'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る。
ステップ1:
アイソモーフィック（同形写像）にしようとする\(f: \mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2} \to \mathbb{Z}_{n_1 n_2}\)を定義しよう。
考えてみると、唯一のオプションしかない: \(([0], [0]) = ([0], [n_2])\)は\([0]\)へマップされる必要があるから、\(f\)がグループ（群）ホモモーフィック（準同形写像）であるためには、\(([0], [1])\)は\([(n_1 n_2) / n_2] = [n_1]\)へマップされる必要があり、同様に、\(([1], [0])\)は\([(n_1 n_2) / n_1] = [n_2]\)へマップされる必要がある。
それをリニア（線形）に拡張すると、\(([j], [k])\)は\([j n_2 + k n_1]\)へマップされる。
それは本当にウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(([j], [k]) = ([j + n_1 l_1], [k + n_2 l_2])\)に対して、\([(j + n_1 l_1) n_2 + (k + n_2 l_2) n_1] = [j n_2 + k n_1 + n_1 l_1 n_2 + n_2 l_2 n_1] = [j n_2 + k n_1 + n_1 n_2 (l_1 + l_2)] = [j n_2 + k n_1]\)、したがって、当該マッピングは代表たちに依存しない。
ステップ2:
\(f\)は本当に'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見よう。
第1に、\(f\)はグループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見よう。
各\(([j], [k]), ([j'], [k'])\)に対して、\(f (([j], [k]) + ([j'], [k'])) = f (([j + j'], [k + k'])) = [(j + j') n_2 + (k + k') n_1] = [j n_2 + k n_1 + j' n_2 + k' n_1] = [j n_2 + k n_1] + [j' n_2 + k' n_1] = f (([j], [k])) + f (([j'], [k']))\)。
したがって、\(f\)はグループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。
\(f\)はインジェクティブ（単射）であることを見よう。
任意の\(([j], [k]), ([j'], [k']) \in \mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2}\)に対して、\(f (([j], [k])) = f (([j'], [k']))\)であると仮定しよう。
\([j n_2 + k n_1] = f (([j], [k])) = f (([j'], [k'])) = [j' n_2 + k' n_1]\)、それが意味するのは、\(j n_2 + k n_1 = j' n_2 + k' n_1 + l n_1 n_2\)、ある\(l \in \mathbb{Z}\)に対して。
\((j - j') n_2 = (k' - k) n_1 + l n_1 n_2\)。
さて、\(gcd (n_1, n_2) = 1\)であるから、\(n_1\)および\(n_2\)がプライムナンバー（素数）たちに因数分解された時、\(n_1\)と\(n_2\)は共有のプライムナンバー（素数）を持たない。\((k' - k) n_1 + l n_1 n_2\)は\(n_1\)の倍数であるから、\((j - j') n_2\)は\(n_1\)の倍数である、しかし、\(n_2\)は\(n_1\)と共有するプライムファクター（因数）を持たないから、\(j - j'\)が\(n_1\)の全てのプライムファクター（素因数）たちをもたなければならない、それが意味するのは、\(j - j'\)は\(n_1\)の倍数であるということ、それが意味するのは、\([j] = [j']\)。同様に、\([k] = [k']\)。
したがって、\(([j], [k]) = ([j'], [k'])\)。
したがって、\(f\)はインジェクティブ（単射）である。
\(\vert \mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2} \vert = n_1 n_2 = \vert \mathbb{Z}_{n_1 n_2} \vert\)であるから、インジェクティブ（単射）な\(f\)はサージェクティブ（全射）である。
したがって、\(f\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
