936: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）、ベーススペース（空間）のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きに対して、サブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きのタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）は、カノニカルに、リストリクテッド（制限された）ベクトルたちバンドル（束）の中へC∞エンベッデッドである

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）、ベーススペース（空間）のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きに対して、サブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きのタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）は、カノニカルに、リストリクテッド（制限された）ベクトルたちバンドル（束）の中へ$C^{\mathrm{\infty }}$エンベッデッドであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、リストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）に対して、グローバルディファレンシャルは$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルは$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のn x nマトリックス（行列）に対して、もしも、任意のm行たちで、n - mより多くの任意の同一列たち0を持つものがある場合、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）でないという命題を認めている。
• 読者は、任意のインバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、最上行から下方へ任意の行まで、各行は、1つの1コンポーネントを持ち他は0であるように、重複のないように変えることができる、当該マトリックス（行列）をインバーティブル（可逆）に保ちながら、という命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のマップ（写像）のコンティニュアス（連続）性をチェックするためには、任意のベーシス（基底）または任意のサブベーシス（基底）のみのプリイメージ（前像）たちだけをチェックすれば十分であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のインジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものは、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のコドメイン（余域）についての任意のエクスパンション（拡張）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）上への任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、そのタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）、ベーススペース（空間）の任意のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きに対して、当該サブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きのタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）は、カノニカルに、当該リストリクテッド（制限された）ベクトルたちバンドル（束）の中へ$C^{\mathrm{\infty }}$エンベッデッドであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }{d}^{\prime }\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きたち }\}$
$(TM,M,{\pi }^{\prime })$: $=M\text{ の当該タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束） }$
$S$: $\in \{M\text{ の全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元）イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$\iota$: $:S\to M$, $=\text{ 当該インクルージョン（封入） }$
$TM{|}_S$: $=\text{ 当該リストリクテッド（制限された） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ベクトルたちバンドル（束） }$で、$\pi :TM{|}_S\to S$をプロジェクション（射影）として持つもの
$(TS,S,\rho )$: $=S\text{ のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束） }$
${\iota }^{\prime }$: $:TS\to TM{|}_S,v\mapsto d\iota v$
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ステートメント（言明）たち:
${\iota }^{\prime }\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}$
//

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2: 注

$TM{|}_S$は$TM$のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、である（リストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義に対する"注"を参照）が、それは、一般に$TM$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ではない、それが、本命題の証明はそれほどシンプルでない理由である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: ${\iota }^{\prime }$はインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ2: リストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義にしたがって、各$s\in S$に対して、$s$の周りのあるチャート$(U_{\beta }\subseteq S,{\varphi }_{\beta })$、インデュースト（誘導された）チャート$({\rho }^{-1}(U_{\beta })\subseteq TS,\widetilde{{\varphi }_{\beta }})$、あるチャート$({\pi }^{-1}(U_{\beta })\subseteq TM{|}_S,\overline{{\varphi }_{\beta }})$を取り、${\iota }^{\prime }$のコンポーネントたちファンクション（関数）がどのようであるかを見る; ステップ3: ${\iota }^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る; ステップ4: $d{\iota }^{\prime }$は、コンポーネントたち的にどのようであるかを見、$d{\iota }^{\prime }$は各ファイバー上でインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ5: ${\iota }^{\prime }$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）${\iota }^{″}:TS\to {\iota }^{\prime }(TS)\subseteq TM{|}_S$はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを見る; ステップ6: 本命題を結論する。

ステップ1:

${\iota }^{\prime }$はインジェクティブ（単射）であることを見よう。

$\iota$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであるから、$d\iota :TS\to TM$はインジェクティブ（単射）である。

${\iota }^{\prime }$のコドメイン（余域）は$TM{|}_S$であって$TM$ではないが、インジェクティブ（単射）性はセット（集合）間マップ（写像）としてのみの性質であって、${\iota }^{\prime }$のインジェクティブ（単射）性は成立する。

ステップ2:

$TS$に対するあるチャートおよび$TM{|}_S$に対するあるチャートを取ろう、${\iota }^{\prime }$のローカルな振る舞いを、コーディネート（座標）たちファンクション（関数）を介して調べるために。

$s\in S$は任意としよう。

リストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義によって、あるチャート$(U_{\beta }\subseteq S,{\varphi }_{\beta })$およびあるチャート$({\pi }^{-1}(U_{\beta })\subseteq TM{|}_S,\overline{{\varphi }_{\beta }})$を取ることができる。

$\overline{{\varphi }_{\beta }}$は$TM$に対するあるトリビアライゼーション${\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }:{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\to U_{\beta }^{\prime }\times {\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$によってインデュースト（誘導された）である、ここで、$U_{\beta }^{\prime }\subseteq M$はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）。実のところ、$U_{\beta }^{\prime }$をあるチャート$(U_{\beta }^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_{\beta }^{\prime })$のドメイン（定義域）として取ることができ、そうする、そして、当該トリビアライゼーションを当該チャートによってインデュースト（誘導された）カノニカルなものと取ることができ、そうする。

$(U_{\beta }\subseteq S,{\varphi }_{\beta })$によってインデュースト（誘導された）カノニカルチャート$({\rho }^{-1}(U_{\beta })\subseteq TS,\widetilde{{\varphi }_{\beta }})$を取ろう。

$(U_{\beta }^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_{\beta }^{\prime })$によってインデュースト（誘導された）カノニカルチャート$({\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\subseteq TM,\widetilde{{\varphi }_{\beta }^{\prime }})$を取ろう。

${\iota }^{\prime }({\rho }^{-1}(U_{\beta }))\subseteq {\pi }^{-1}(U_{\beta })$、なぜなら、${\iota }^{\prime }$はファイバー維持である、なぜなら、$d\iota$がそうである。

そこで、$({\rho }^{-1}(U_{\beta })\subseteq TS,\widetilde{{\varphi }_{\beta }})$および$({\pi }^{-1}(U_{\beta })\subseteq TM{|}_S,\overline{{\varphi }_{\beta }})$に関する${\iota }^{\prime }$のコンポーネントたちを調べよう。

実のところ、当該コンポーネントたちファンクション（関数）は、$:(v^1,...,v^d,x^1,...,x^d)\mapsto (w^1,...,w^{d^{\prime }},x^1,...,x^d)$という形をしている、なぜなら、両チャートたちは同一の${\varphi }_{\beta }$を使っている。

ステップ3:

比較として、$\iota$のグローバルディファレンシャル$d\iota :TS\to TM$のことを考えよう。

$({\rho }^{-1}(U_{\beta })\subseteq TS,\widetilde{{\varphi }_{\beta }})$および$({\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\subseteq TM,\widetilde{{\varphi }_{\beta }^{\prime }})$に関する$d\iota$のコンポーネントたちファンクション（関数）は、$:(v^1,...,v^d,x^1,...,x^d)\mapsto (w^1,...,w^{d^{\prime }},y^1,...,y^{d^{\prime }})$の形をしている、その要点は、$(w^1,...,w^{d^{\prime }})$は${\iota }^{\prime }$のコンポーネントたちファンクション（関数）と全く同一であるということ、その理由は、${\iota }^{\prime }$と$d\iota$の両方が同一$d\iota$でマッピングたちを行なうところ、$({\pi }^{-1}(U_{\beta })\subseteq TM{|}_S,\overline{{\varphi }_{\beta }})$と$({\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\subseteq TM,\widetilde{{\varphi }_{\beta }^{\prime }})$の両方が同一トリビアライゼーション${\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }$によってインデュースト（誘導される）である。

$d\iota$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）に対して、グローバルディファレンシャルは$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって。

それが意味するのは、$w^j$は$(v^1,...,v^d,x^1,...,x^d)$の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）であるということ。

すると、$:(v^1,...,v^d,x^1,...,x^d)\mapsto (w^1,...,w^{d^{\prime }},x^1,...,x^d)$も$C^{\mathrm{\infty }}$である。

したがって、${\iota }^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

ステップ4:

$TTS$に対する$({\rho }^{-1}(U_{\beta })\subseteq TS,\widetilde{{\varphi }_{\beta }})$によってインデュースト（誘導された）カノニカルチャートおよび$TTM{|}_S$に対する$({\pi }^{-1}(U_{\beta })\subseteq TM{|}_S,\overline{{\varphi }_{\beta }})$によってインデュースト（誘導された）カノニカルチャートがある。

よく知られているとおり、当該チャートたちに関する$d{\iota }^{\prime }$のコンポーネントたちファンクション（関数）は、$:(t^1,...,t^{2d},x^1,...,x^d,v^1,...,v^d)\mapsto ({\partial }_j{x}^1{t}^j,...,{\partial }_j{x}^d{t}^j,{\partial }_j{w}^1{t}^j,...,{\partial }_j{w}^{d^{\prime }}{t}^j,x^1,...,x^d,w^1,...,w^{d^{\prime }})$の形を取る、ここで、${\partial }_j$は、$j\in \{1,...,d\}$に対しては$x^j$により、$j\in \{d+1,...,2d\}$に対しては$v^{j-d}$による、$=(t^1,...,t^d,{\partial }_j{w}^1{t}^j,...,{\partial }_j{w}^{d^{\prime }}{t}^j,x^1,...,x^d,w^1,...,w^{d^{\prime }})$。

比較として、$dd\iota$のことを考えよう。

$TTM$に対する$({\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\subseteq TM,\widetilde{{\varphi }_{\beta }^{\prime }})$によってインデュースト（誘導された）カノニカルチャートがある。

$TTS$に対する当該チャートおよび$TTM$に対する当該チャートに関する$dd\iota$のコンポーネントたちファンクション（関数）は、$:(t^1,...,t^{2d},x^1,...,x^d,v^1,...,v^d)\mapsto ({\partial }_j{y}^1{t}^j,...,{\partial }_j{y}^{d^{\prime }}{t}^j,{\partial }_j{w}^1{t}^j,...,{\partial }_j{w}^{d^{\prime }}{t}^j,y^1,...,y^{d^{\prime }},w^1,...,w^{d^{\prime }})$の形をしている、ここで、${\partial }_j$は、$j\in \{1,...,d\}$に対しては$x^j$により、$j\in \{d+1,...,2d\}$に対しては$v^{j-d}$による、しかし、$y$は$x$だけに依存するから、${\partial }_j{y}^l{t}^j$たちは$j\in \{1,...,d\}$に対してだけである。

$dd\iota$は各ファイバー上でインジェクティブ（単射）である、なぜなら、$d\iota$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンである、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルは$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであるという命題によって。

それが意味するのは、マトリックス（行列）$\left(\begin{array}{cccccc}\partial y^1/\partial x^1& ...& \partial y^1/\partial x^d& 0& ...& 0\\ ...\\ \partial y^{d^{\prime }}/\partial x^1& ...& \partial y^{d^{\prime }}/\partial x^d& 0& ...& 0\\ \partial w^1/\partial x^1& ...& \partial w^1/\partial x^d& \partial w^1/\partial v^1& ...& \partial w^1/\partial v^d\\ ...\\ \partial w^{d^{\prime }}/\partial x^1& ...& \partial w^{d^{\prime }}/\partial x^d& \partial w^{d^{\prime }}/\partial v^1& ...& \partial w^{d^{\prime }}/\partial v^d\end{array}\right)$は、ランク$2d$であるということ。

それが意味するのは、ある$2d\times 2d$サブマトリックス（部分行列）$\left(\begin{array}{cccccc}\partial y^{j_1}/\partial x^1& ...& \partial y^{j_1}/\partial x^d& 0& ...& 0\\ ...\\ \partial y^{j_k}/\partial x^1& ...& \partial y^{j_k}/\partial x^d& 0& ...& 0\\ \partial w^{l_1}/\partial x^1& ...& \partial w^{l_1}/\partial x^d& \partial w^{l_1}/\partial v^1& ...& \partial w^{l_1}/\partial v^d\\ ...\\ \partial w^{l_m}/\partial x^1& ...& \partial w^{l_m}/\partial x^d& \partial w^{l_m}/\partial v^1& ...& \partial w^{l_m}/\partial v^d\end{array}\right)$で、インバーティブル（可逆）であるものがあるということ。

実のところ、$k\le d$、なぜなら、そうでなければ、当該サブマトリックス（部分行列）はインバーティブル（可逆）でないであろう、任意のn x nマトリックス（行列）に対して、もしも、任意のm行たちで、n - mより多くの任意の同一列たち0を持つものがある場合、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）でないという命題によって: もしも、$d<k$であったら、$2d-k<d$、しかし、$k$行たちは$d$個の同一列たち0を持っていたから、当該サブマトリックス（部分行列）はインバーティブル（可逆）でないことになる。

トップ$k$行たちの各々は、変更して、1つの1コンポーネントおよび他0を持ち、重複がなく、当該マトリックス（行列）がインバーティブル（可逆）であり続けるようにできる、任意のインバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、最上行から下方へ任意の行まで、各行は、1つの1コンポーネントを持ち他は0であるように、重複のないように変えることができる、当該マトリックス（行列）をインバーティブル（可逆）に保ちながら、という命題によって。

それは、$d{\iota }^{\prime }$のコンポーネントたちファンクション（関数）に対するマトリックス（行列）のある$2d\times 2d$サブマトリックス（部分行列）である、それが意味するのは、当該マトリックス（行列）はランク$2d$であるということ、それが含意するのは、$d{\iota }^{\prime }$は各ファイバー上でインジェクティブ（単射）であるということ。

したがって、${\iota }^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンである。

ステップ5:

$\{{\rho }^{-1}(U_{\beta })|\beta \in B\}$は$TS$のオープンカバー（開被覆）である。

${\mathrm{\Phi }}_{\beta }:{\pi }^{-1}(U_{\beta })\to U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$は、 be the trivialization for $TM{|}_S$に対するリストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義内で定義されたトリビアライゼーションであるとしよう。

${\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{″}:{\rho }^{-1}(U_{\beta })\to U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^d$は、$TS$に対するカノニカルトリビアライゼーションであるとしよう。

${\mathrm{\Phi }}_{\beta }\circ {\iota }^{\prime }{|}_{{\rho }^{-1}(U_{\beta })}\circ {{\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{″}}^{-1}:U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^d\to U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$のことを考えよう。

それは、インジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）である、したがって、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のインジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものは、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題によって。

したがって、${\iota }^{\prime }{|}_{{\rho }^{-1}(U_{\beta })}={{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}\circ {\mathrm{\Phi }}_{\beta }\circ {\iota }^{\prime }{|}_{{\rho }^{-1}(U_{\beta })}\circ {{\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{″}}^{-1}\circ {\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{″}:{\rho }^{-1}(U_{\beta })\to {\pi }^{-1}(U_{\beta })$はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である: ${\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{″}$および${\mathrm{\Phi }}_{\beta }$はホメオモーフィズム（位相同形写像）たちである。コドメイン（余域）エクスパンション（拡張）${\iota }^{\prime }{|}_{{\rho }^{-1}(U_{\beta })}:{\rho }^{-1}(U_{\beta })\to TM{|}_S$もコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、任意のコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のコドメイン（余域）についての任意のエクスパンション（拡張）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題によって。

${\iota }^{\prime }{|}_{{\rho }^{-1}(U_{\beta })}({\rho }^{-1}(U_{\beta }))={\pi }^{-1}(U_{\beta })\cap {\iota }^{\prime }(TS)$、それは$TM{|}_S\cap {\iota }^{\prime }(TS)$上でオープン（開）である、なぜなら、${\pi }^{-1}(U_{\beta })$は$TM{|}_S$上でオープン（開）である。

したがって、${\iota }^{\prime }$はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）上への任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、という命題によって。

それが意味するのは、${\iota }^{\prime }$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）${\iota }^{″}:TS\to {\iota }^{\prime }(TS)\subseteq TM{|}_S$はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるということ。

ステップ6:

したがって、${\iota }^{\prime }$は、インジェクティブ（単射）イマージョンで、そのコドメイン（余域）リストリクション（制限）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるものである、それが意味するのは、${\iota }^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）であるということ。

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参考資料

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