\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）、ベーススペース（空間）のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きに対して、サブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きのタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）は、カノニカルに、リストリクテッド（制限された）ベクトルたちバンドル（束）の中へ\(C^\infty\)エンベッデッドであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、グローバルディファレンシャルは\(C^\infty\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルは\(C^\infty\)イマージョンであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のn x nマトリックス（行列）に対して、もしも、任意のm行たちで、n - mより多くの任意の同一列たち0を持つものがある場合、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）でないという命題を認めている。
- 読者は、任意のインバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、最上行から下方へ任意の行まで、各行は、1つの1コンポーネントを持ち他は0であるように、重複のないように変えることができる、当該マトリックス（行列）をインバーティブル（可逆）に保ちながら、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のマップ（写像）のコンティニュアス（連続）性をチェックするためには、任意のベーシス（基底）または任意のサブベーシス（基底）のみのプリイメージ（前像）たちだけをチェックすれば十分であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のインジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものは、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のコドメイン（余域）についての任意のエクスパンション（拡張）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）上への任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、そのタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）、ベーススペース（空間）の任意のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きに対して、当該サブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きのタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）は、カノニカルに、当該リストリクテッド（制限された）ベクトルたちバンドル（束）の中へ\(C^\infty\)エンベッデッドであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d' \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きたち }\}\)
\((T M, M, \pi')\): \(= M \text{ の当該タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束） }\)
\(S\): \(\in \{M \text{ の全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\iota\): \(: S \to M\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(T M \vert_S\): \(= \text{ 当該リストリクテッド（制限された） } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束） }\)で、\(\pi: T M \vert_S \to S\)をプロジェクション（射影）として持つもの
\((T S, S, \rho)\): \(= S \text{ のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束） }\)
\(\iota'\): \(: T S \to T M \vert_S, v \mapsto d \iota v\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\iota' \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}\)
//
2: 注
\(T M \vert_S\)は\(T M\)のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、である（リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義に対する"注"を参照）が、それは、一般に\(T M\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ではない、それが、本命題の証明はそれほどシンプルでない理由である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\iota'\)はインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ2: リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義にしたがって、各\(s \in S\)に対して、\(s\)の周りのあるチャート\((U_\beta \subseteq S, \phi_\beta)\)、インデュースト（誘導された）チャート\((\rho^{-1} (U_\beta) \subseteq T S, \widetilde{\phi_\beta})\)、あるチャート\((\pi^{-1} (U_\beta) \subseteq T M \vert_S, \overline{\phi_\beta})\)を取り、\(\iota'\)のコンポーネントたちファンクション（関数）がどのようであるかを見る; ステップ3: \(\iota'\)は\(C^\infty\)であることを見る; ステップ4: \(d \iota'\)は、コンポーネントたち的にどのようであるかを見、\(d \iota'\)は各ファイバー上でインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ5: \(\iota'\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）\(\iota'': T S \to \iota' (T S) \subseteq T M \vert_S\)はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを見る; ステップ6: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\iota'\)はインジェクティブ（単射）であることを見よう。
\(\iota\)は\(C^\infty\)イマージョンであるから、\(d \iota: T S \to T M\)はインジェクティブ（単射）である。
\(\iota'\)のコドメイン（余域）は\(T M \vert_S\)であって\(T M\)ではないが、インジェクティブ（単射）性はセット（集合）間マップ（写像）としてのみの性質であって、\(\iota'\)のインジェクティブ（単射）性は成立する。
ステップ2:
\(T S\)に対するあるチャートおよび\(T M \vert_S\)に対するあるチャートを取ろう、\(\iota'\)のローカルな振る舞いを、コーディネート（座標）たちファンクション（関数）を介して調べるために。
\(s \in S\)は任意としよう。
リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義によって、あるチャート\((U_\beta \subseteq S, \phi_\beta)\)およびあるチャート\((\pi^{-1} (U_\beta) \subseteq T M \vert_S, \overline{\phi_\beta})\)を取ることができる。
\(\overline{\phi_\beta}\)は\(T M\)に対するあるトリビアライゼーション\(\Phi'_\beta: \pi'^{-1} (U'_\beta) \to U'_\beta \times \mathbb{R}^{d'}\)によってインデュースト（誘導された）である、ここで、\(U'_\beta \subseteq M\)はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）。実のところ、\(U'_\beta\)をあるチャート\((U'_\beta \subseteq M, \phi'_\beta)\)のドメイン（定義域）として取ることができ、そうする、そして、当該トリビアライゼーションを当該チャートによってインデュースト（誘導された）カノニカルなものと取ることができ、そうする。
\((U_\beta \subseteq S, \phi_\beta)\)によってインデュースト（誘導された）カノニカルチャート\((\rho^{-1} (U_\beta) \subseteq T S, \widetilde{\phi_\beta})\)を取ろう。
\((U'_\beta \subseteq M, \phi'_\beta)\)によってインデュースト（誘導された）カノニカルチャート\((\pi'^{-1} (U'_\beta) \subseteq T M, \widetilde{\phi'_\beta})\)を取ろう。
\(\iota' (\rho^{-1} (U_\beta)) \subseteq \pi^{-1} (U_\beta)\)、なぜなら、\(\iota'\)はファイバー維持である、なぜなら、\(d \iota\)がそうである。
そこで、\((\rho^{-1} (U_\beta) \subseteq T S, \widetilde{\phi_\beta})\)および\((\pi^{-1} (U_\beta) \subseteq T M \vert_S, \overline{\phi_\beta})\)に関する\(\iota'\)のコンポーネントたちを調べよう。
実のところ、当該コンポーネントたちファンクション（関数）は、\(: (v^1, ..., v^d, x^1, ..., x^d) \mapsto (w^1, ..., w^{d'}, x^1, ..., x^d)\)という形をしている、なぜなら、両チャートたちは同一の\(\phi_\beta\)を使っている。
ステップ3:
比較として、\(\iota\)のグローバルディファレンシャル\(d \iota: T S \to T M\)のことを考えよう。
\((\rho^{-1} (U_\beta) \subseteq T S, \widetilde{\phi_\beta})\)および\((\pi'^{-1} (U'_\beta) \subseteq T M, \widetilde{\phi'_\beta})\)に関する\(d \iota\)のコンポーネントたちファンクション（関数）は、\(: (v^1, ..., v^d, x^1, ..., x^d) \mapsto (w^1, ..., w^{d'}, y^1, ..., y^{d'})\)の形をしている、その要点は、\((w^1, ..., w^{d'})\)は\(\iota'\)のコンポーネントたちファンクション（関数）と全く同一であるということ、その理由は、\(\iota'\)と\(d \iota\)の両方が同一\(d \iota\)でマッピングたちを行なうところ、\((\pi^{-1} (U_\beta) \subseteq T M \vert_S, \overline{\phi_\beta})\)と\((\pi'^{-1} (U'_\beta) \subseteq T M, \widetilde{\phi'_\beta})\)の両方が同一トリビアライゼーション\(\Phi'_\beta\)によってインデュースト（誘導される）である。
\(d \iota\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、グローバルディファレンシャルは\(C^\infty\)であるという命題によって。
それが意味するのは、\(w^j\)は\((v^1, ..., v^d, x^1, ..., x^d)\)の\(C^\infty\)ファンクション（関数）であるということ。
すると、\(: (v^1, ..., v^d, x^1, ..., x^d) \mapsto (w^1, ..., w^{d'}, x^1, ..., x^d)\)も\(C^\infty\)である。
したがって、\(\iota'\)は\(C^\infty\)である。
ステップ4:
\(T T S\)に対する\((\rho^{-1} (U_\beta) \subseteq T S, \widetilde{\phi_\beta})\)によってインデュースト（誘導された）カノニカルチャートおよび\(T T M \vert_S\)に対する\((\pi^{-1} (U_\beta) \subseteq T M \vert_S, \overline{\phi_\beta})\)によってインデュースト（誘導された）カノニカルチャートがある。
よく知られているとおり、当該チャートたちに関する\(d \iota'\)のコンポーネントたちファンクション（関数）は、\(: (t^1, ..., t^{2 d}, x^1, ..., x^d, v^1, ..., v^d) \mapsto (\partial_j x^1 t^j, ..., \partial_j x^d t^j, \partial_j w^1 t^j, ..., \partial_j w^{d'} t^j, x^1, ..., x^d, w^1, ..., w^{d'})\)の形を取る、ここで、\(\partial_j\)は、\(j \in \{1, ..., d\}\)に対しては\(x^j\)により、\(j \in \{d + 1, ..., 2 d\}\)に対しては\(v^{j - d}\)による、\(= (t^1, ..., t^d, \partial_j w^1 t^j, ..., \partial_j w^{d'} t^j, x^1, ..., x^d, w^1, ..., w^{d'})\)。
比較として、\(d d \iota\)のことを考えよう。
\(T T M\)に対する\((\pi'^{-1} (U'_\beta) \subseteq T M, \widetilde{\phi'_\beta})\)によってインデュースト（誘導された）カノニカルチャートがある。
\(T T S\)に対する当該チャートおよび\(T T M\)に対する当該チャートに関する\(d d \iota\)のコンポーネントたちファンクション（関数）は、\(: (t^1, ..., t^{2 d}, x^1, ..., x^d, v^1, ..., v^d) \mapsto (\partial_j y^1 t^j, ..., \partial_j y^{d'} t^j, \partial_j w^1 t^j, ..., \partial_j w^{d'} t^j, y^1, ..., y^{d'}, w^1, ..., w^{d'})\)の形をしている、ここで、\(\partial_j\)は、\(j \in \{1, ..., d\}\)に対しては\(x^j\)により、\(j \in \{d + 1, ..., 2 d\}\)に対しては\(v^{j - d}\)による、しかし、\(y\)は\(x\)だけに依存するから、\(\partial_j y^l t^j\)たちは\(j \in \{1, ..., d\}\)に対してだけである。
\(d d \iota\)は各ファイバー上でインジェクティブ（単射）である、なぜなら、\(d \iota\)は\(C^\infty\)イマージョンである、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルは\(C^\infty\)イマージョンであるという命題によって。
それが意味するのは、マトリックス（行列）\(\begin{pmatrix} \partial y^1 / \partial x^1 & ... & \partial y^1 / \partial x^d & 0 & ... & 0 \\ ... \\ \partial y^{d'} / \partial x^1 & ... & \partial y^{d'} / \partial x^d & 0 & ... & 0 \\ \partial w^1 / \partial x^1 & ... & \partial w^1 / \partial x^d & \partial w^1 / \partial v^1 & ... & \partial w^1 / \partial v^d \\ ... \\ \partial w^{d'} / \partial x^1 & ... & \partial w^{d'} / \partial x^d & \partial w^{d'} / \partial v^1 & ... & \partial w^{d'} / \partial v^d \end{pmatrix}\)は、ランク\(2 d\)であるということ。
それが意味するのは、ある\(2 d \times 2 d\)サブマトリックス（部分行列）\(\begin{pmatrix} \partial y^{j_1} / \partial x^1 & ... & \partial y^{j_1} / \partial x^d & 0 & ... & 0 \\ ... \\ \partial y^{j_k} / \partial x^1 & ... & \partial y^{j_k} / \partial x^d & 0 & ... & 0 \\ \partial w^{l_1} / \partial x^1 & ... & \partial w^{l_1} / \partial x^d & \partial w^{l_1} / \partial v^1 & ... & \partial w^{l_1} / \partial v^d \\ ... \\ \partial w^{l_m} / \partial x^1 & ... & \partial w^{l_m} / \partial x^d & \partial w^{l_m} / \partial v^1 & ... & \partial w^{l_m} / \partial v^d \end{pmatrix}\)で、インバーティブル（可逆）であるものがあるということ。
実のところ、\(k \le d\)、なぜなら、そうでなければ、当該サブマトリックス（部分行列）はインバーティブル（可逆）でないであろう、任意のn x nマトリックス（行列）に対して、もしも、任意のm行たちで、n - mより多くの任意の同一列たち0を持つものがある場合、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）でないという命題によって: もしも、\(d \lt k\)であったら、\(2 d - k \lt d\)、しかし、\(k\)行たちは\(d\)個の同一列たち0を持っていたから、当該サブマトリックス（部分行列）はインバーティブル（可逆）でないことになる。
トップ\(k\)行たちの各々は、変更して、1つの1コンポーネントおよび他0を持ち、重複がなく、当該マトリックス（行列）がインバーティブル（可逆）であり続けるようにできる、任意のインバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、最上行から下方へ任意の行まで、各行は、1つの1コンポーネントを持ち他は0であるように、重複のないように変えることができる、当該マトリックス（行列）をインバーティブル（可逆）に保ちながら、という命題によって。
それは、\(d \iota'\)のコンポーネントたちファンクション（関数）に対するマトリックス（行列）のある\(2 d \times 2 d\)サブマトリックス（部分行列）である、それが意味するのは、当該マトリックス（行列）はランク\(2 d\)であるということ、それが含意するのは、\(d \iota'\)は各ファイバー上でインジェクティブ（単射）であるということ。
したがって、\(\iota'\)は\(C^\infty\)イマージョンである。
ステップ5:
\(\{\rho^{-1} (U_\beta) \vert \beta \in B\}\)は\(T S\)のオープンカバー（開被覆）である。
\(\Phi_\beta: \pi^{-1} (U_\beta) \to U_\beta \times \mathbb{R}^{d'}\)は、 be the trivialization for \(T M \vert_S\)に対するリストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義内で定義されたトリビアライゼーションであるとしよう。
\(\Phi''_\beta: \rho^{-1} (U_\beta) \to U_\beta \times \mathbb{R}^d\)は、\(T S\)に対するカノニカルトリビアライゼーションであるとしよう。
\(\Phi_\beta \circ \iota' \vert_{\rho^{-1} (U_\beta)} \circ {\Phi''_\beta}^{-1}: U_\beta \times \mathbb{R}^d \to U_\beta \times \mathbb{R}^{d'}\)のことを考えよう。
それは、インジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）である、したがって、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のインジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものは、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題によって。
したがって、\(\iota' \vert_{\rho^{-1} (U_\beta)} = {\Phi_\beta}^{-1} \circ \Phi_\beta \circ \iota' \vert_{\rho^{-1} (U_\beta)} \circ {\Phi''_\beta}^{-1} \circ \Phi''_\beta: \rho^{-1} (U_\beta) \to \pi^{-1} (U_\beta)\)はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である: \(\Phi''_\beta\)および\(\Phi_\beta\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）たちである。コドメイン（余域）エクスパンション（拡張）\(\iota' \vert_{\rho^{-1} (U_\beta)}: \rho^{-1} (U_\beta) \to T M \vert_S\)もコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、任意のコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のコドメイン（余域）についての任意のエクスパンション（拡張）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題によって。
\(\iota' \vert_{\rho^{-1} (U_\beta)} (\rho^{-1} (U_\beta)) = \pi^{-1} (U_\beta) \cap \iota' (T S)\)、それは\(T M \vert_S \cap \iota' (T S)\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(\pi^{-1} (U_\beta)\)は\(T M \vert_S\)上でオープン（開）である。
したがって、\(\iota'\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）上への任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、という命題によって。
それが意味するのは、\(\iota'\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）\(\iota'': T S \to \iota' (T S) \subseteq T M \vert_S\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるということ。
ステップ6:
したがって、\(\iota'\)は、インジェクティブ（単射）イマージョンで、そのコドメイン（余域）リストリクション（制限）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるものである、それが意味するのは、\(\iota'\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であるということ。
