プロダクトモジュール（加群）の定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、プロダクトモジュール（加群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( \{M_j \vert j \in J\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(*\times_{j \in J} M_j\): \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\), \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)で、下に指定されるオペレーションたちを持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall r \in R, \forall f \in \times_{j \in J} M_j (\forall j \in J ((r f) (j) = r (f (j))))\)
\(\land\)
\(\forall f, f' \in \times_{j \in J} M_j (\forall j \in J ((f + f') (j) = f (j) + f' (j)))\)
//
2: 構造化された記述2
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( \{M_1, ..., M_k\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(*M_1 \times ... \times M_k\): \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\), \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)で、下に指定されるオペレーションたちを持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall r \in R, \forall m = (m_1, ..., m_k) \in M_1 \times ... \times M_k (r m = (r m_1, ..., r m_k))\)
\(\land\)
\(\forall m = (m_1, ..., m_k), m' = (m'_1, ..., m'_k) \in M_1 \times ... \times M_k (m + m' = (m_1 + m'_1, ..., m_k + m'_k))\)
//
3: 注
\(\times_{j \in J} M_j\)は本当に\(M\)モジュール（加群）であることを見よう。
1) \(\forall m, m' \in \times_{j \in J} M_j (m + m' \in \times_{j \in J} M_j)\) （アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: 各\(j \in J\)に対して、\((m + m') (j) = m (j) + m' (j) \in M_j\)。
2) \(\forall m, m' \in \times_{j \in J} M_j (m + m' = m' + m)\) （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: 各\(j \in J\)に対して、\((m + m') (j) = m (j) + m' (j) = m' (j) + m (j) = (m' + m) (j)\)。
3) \(\forall m, m', m'' \in \times_{j \in J} M_j ((m + m') + m'' = m + (m' + m''))\) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 各\(j \in J\)に対して、\(((m + m') + m'') (j) = (m + m') (j) + m'' (j) = m (j) + m' (j) + m'' (j) = m (j) + (m' + m'') (j) = (m + (m' + m'')) (j)\)。
4) \(\exists 0 \in \times_{j \in J} M_j (\forall m \in \times_{j \in J} M_j (m + 0 = m))\) （0要素の存在）: \(m_0 \in \times_{j \in J} M_j\)で各\(j \in J\)に対して\(m_0 (j) = 0\)を満たすものは\(0\)である、なぜなら、\((m + m_0) (j) = m (j) + m_0 (j) = m (j) + 0 = m (j)\)。
5) \(\forall m \in \times_{j \in J} M_j (\exists m' \in \times_{j \in J} M_j (m' + m = 0))\) （インバース（逆）要素の存在）: \(m' \in \times_{j \in J} M_j\)で各\(j \in J\)に対して\(m' (j) = - m (j)\)を満たすものはそういうものである、なぜなら、\((m' + m) (j) = m' (j) + m (j) = - m (j) + m (j) = 0 = m_0 (j)\)。
6) \(\forall m \in \times_{j \in J} M_j, \forall r \in R (r . m \in \times_{j \in J} M_j)\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: 各\(j \in J\)に対して、\((r . m) (j) = r m (j) \in M_j\)。
7) \(\forall m \in \times_{j \in J} M_j, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 + r_2) . m = r_1 . m + r_2 . m)\) （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: 各\(j \in J\)に対して、\(((r_1 + r_2) . m) (j) = (r_1 + r_2) m (j) = r_1 m (j) + r_2 m (j) = (r_1 m) (j) + (r_2 m) (j) = (r_1 . m + r_2 . m) (j))\)。
8) \(\forall m, m' \in \times_{j \in J} M_j, \forall r \in R (r . (m + m') = r . m + r . m')\) （要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: 各\(j \in J\)に対して、\((r . (m + m')) (j) = r (m + m') (j) = r (m (j) + m' (j)) = r m (j) + r m' (j) = (r m) (j) + (r m') (j) = (r . m + r . m') (j)\)。
9) \(\forall m \in \times_{j \in J} M_j, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 r_2) . m = r_1 . (r_2 . m))\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: 各\(j \in J\)に対して、\(((r_1 r_2) . m) (j) = (r_1 r_2) m (j) = r_1 (r_2 m (j)) = r_1 . (r_2 . m) (j)\)。
10) \(\forall m \in \times_{j \in J} M_j (1 . m = m)\) （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: 各\(j \in J\)に対して、\((1 . m) (j) = 1 m (j) = m (j)\)。
\(M_1 \times ... \times M_k\)は本当に\(R\)モジュール（加群）であることを見よう。
1) \(\forall m, m' \in M_1 \times ... \times M_k (m + m' \in M_1 \times ... \times M_k)\) (アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: \(m = (m_1, ..., m_k)\)および\(m' = (m'_1, ..., m'_k)\)に対して、\(m + m' = (m_1, ..., m_k) + (m'_1, ..., m'_k) = (m_1 + m'_1, ..., m_k + m'_k) \in M_1 \times ... \times M_k\)。
2) \(\forall m, m' \in M_1 \times ... \times M_k (m + m' = m' + m)\) （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: \(m = (m_1, ..., m_k)\)および\(m' = (m'_1, ..., m'_k)\)に対して、\(m + m' = (m_1, ..., m_k) + (m'_1, ..., m'_k) = (m_1 + m'_1, ..., m_k + m'_k) = (m'_1 + m_1, ..., m'_k + m_k) = m' + m\)。
3) \(\forall m, m', m'' \in M_1 \times ... \times M_k ((m + m') + m'' = m + (m' + m''))\) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））; \(m = (m_1, ..., m_k)\)、\(m' = (m'_1, ..., m'_k)\)、\(m'' = (m''_1, ..., m''_k)\)に対して、\((m + m') + m'' = (m_1 + m'_1, ..., m_k + m'_k) + (m''_1, ..., m''_k) = (m_1 + m'_1 + m''_1, ..., m_k + m'_k + m''_k) = m + (m'_1 + m''_1, ..., m'_k + m''_k) = m + (m' + m'')\)。
4) \(\exists 0 \in M_1 \times ... \times M_k (\forall m \in M_1 \times ... \times M_k (m + 0 = m))\) （0要素の存在）: \(m_0 \in M_1 \times ... \times M_k\)で\(m_0 = (0, ..., 0)\)を満たすものは\(0\)である、なぜなら、\(m = (m_1, ..., m_k)\)に対して、\(m + m_0 = (m_1, ..., m_k) + (0, ..., 0) = (m_1 + 0, ..., m_k + 0) = (m_1, ..., m_k) = m\)。
5) \(\forall m \in M_1 \times ... \times M_k (\exists m' \in M_1 \times ... \times M_k (m' + m = 0))\) （インバース（逆）要素の存在）: \(m' \in M_1 \times ... \times M_k\)で\(m = (m_1, ..., m_k)\)ｎ対して\(m' = (- m_1, ..., - m_k)\)を満たすものはそういうものである、なぜなら、\(m' + m = (- m_1, ..., - m_k) + (m_1, ..., m_k) = (- m_1 + m_1, ..., - m_k + m_k) = (0, ..., 0) = m_0\)。
6) \(\forall m \in M_1 \times ... \times M_k, \forall r \in R (r . m \in M_1 \times ... \times M_k)\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: \(m = (m_1, ..., m_k)\)に対して、\(r . m = (r m_1, ..., r m_k) \in M_j\)。
7) \(\forall m \in M_1 \times ... \times M_k, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 + r_2) . m = r_1 . m + r_2 . m)\) （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \(m = (m_1, ..., m_k)\)に対して、\((r_1 + r_2) . m = ((r_1 + r_2) m_1, ..., (r_1 + r_2) m_k) = (r_1 m_1 + r_2 m_1, ..., r_1 m_k + r_2 m_k) = (r_1 m_1, ..., r_1 m_k) + (r_2 m_1, ..., r_2 m_k) = r_1 . m + r_2 . m)\)。
8) \(\forall m, m' \in M_1 \times ... \times M_k, \forall r \in R (r . (m + m') = r . m + r . m')\) （要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: \(m = (m_1, ..., m_k)\)および\(m' = (m'_1, ..., m'_k)\)に対して、\(r . (m + m') = r (m_1 + m'_1, ..., m_k + m'_k) = (r (m_1 + m'_1), ..., r (m_k + m'_k)) = (r m_1 + r m'_1, ..., r m_k + r m'_k) = (r m_1, ..., r m_k) + (r m'_1, ..., r m'_k) = r . m + r . m'\)。
9) \(\forall m \in M_1 \times ... \times M_k, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 r_2) . m = r_1 . (r_2 . m))\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(m = (m_1, ..., m_k)\)に対して、\((r_1 r_2) . m = (r_1 r_2) (m_1, ..., m_k) = (r_1 r_2 m_1, ..., r_1 r_2 m_k) = r_1 (r_2 m_1, ..., r_2 m_k) = r_1 . (r_2 . m)\)。
10) \(\forall m \in M_1 \times ... \times M_k (1 . m = m)\) （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: \(m = (m_1, ..., m_k)\)に対して、\(1 . m = 1 (m_1, ..., m_k) = (1 m_1, ..., 1 m_k) = (m_1, ..., m_k) = m\)。
