945: プロダクトモジュール（加群）

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プロダクトモジュール（加群）の定義

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話題

About: モジュール（加群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 構造化された記述2
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、プロダクトモジュール（加群）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$J$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$\{M_j|j\in J\}$: $\subseteq \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち }\}$
$\ast {\times }_{j\in J}{M}_j$: $=\text{ 当該プロダクトセット（集合） }$, $\in \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち }\}$で、下に指定されるオペレーションたちを持つもの
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }r\in R,\mathrm{\forall }f\in {\times }_{j\in J}{M}_j(\mathrm{\forall }j\in J((rf)(j)=r(f(j))))$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }f,f^{\prime }\in {\times }_{j\in J}{M}_j(\mathrm{\forall }j\in J((f+f^{\prime })(j)=f(j)+f^{\prime }(j)))$
//

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2: 構造化された記述2

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$\{M_1,...,M_k\}$: $\subseteq \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち }\}$
$\ast M_1\times ...\times M_k$: $=\text{ 当該プロダクトセット（集合） }$, $\in \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち }\}$で、下に指定されるオペレーションたちを持つもの
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }r\in R,\mathrm{\forall }m=(m_1,...,m_k)\in M_1\times ...\times M_k(rm=(r{m}_1,...,r{m}_k))$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }m=(m_1,...,m_k),m^{\prime }=(m_1^{\prime },...,m_k^{\prime })\in M_1\times ...\times M_k(m+m^{\prime }=(m_1+m_1^{\prime },...,m_k+m_k^{\prime }))$
//

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3: 注

${\times }_{j\in J}{M}_j$は本当に$M$モジュール（加群）であることを見よう。

1) $\mathrm{\forall }m,m^{\prime }\in {\times }_{j\in J}{M}_j(m+m^{\prime }\in {\times }_{j\in J}{M}_j)$ （アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: 各$j\in J$に対して、$(m+m^{\prime })(j)=m(j)+m^{\prime }(j)\in M_j$。

2) $\mathrm{\forall }m,m^{\prime }\in {\times }_{j\in J}{M}_j(m+m^{\prime }=m^{\prime }+m)$ （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: 各$j\in J$に対して、$(m+m^{\prime })(j)=m(j)+m^{\prime }(j)=m^{\prime }(j)+m(j)=(m^{\prime }+m)(j)$。

3) $\mathrm{\forall }m,m^{\prime },m^{″}\in {\times }_{j\in J}{M}_j((m+m^{\prime })+m^{″}=m+(m^{\prime }+m^{″}))$ （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 各$j\in J$に対して、$((m+m^{\prime })+m^{″})(j)=(m+m^{\prime })(j)+m^{″}(j)=m(j)+m^{\prime }(j)+m^{″}(j)=m(j)+(m^{\prime }+m^{″})(j)=(m+(m^{\prime }+m^{″}))(j)$。

4) $\mathrm{\exists }0\in {\times }_{j\in J}{M}_j(\mathrm{\forall }m\in {\times }_{j\in J}{M}_j(m+0=m))$ （0要素の存在）: $m_0\in {\times }_{j\in J}{M}_j$で各$j\in J$に対して$m_0(j)=0$を満たすものは$0$である、なぜなら、$(m+m_0)(j)=m(j)+m_0(j)=m(j)+0=m(j)$。

5) $\mathrm{\forall }m\in {\times }_{j\in J}{M}_j(\mathrm{\exists }{m}^{\prime }\in {\times }_{j\in J}{M}_j(m^{\prime }+m=0))$ （インバース（逆）要素の存在）: $m^{\prime }\in {\times }_{j\in J}{M}_j$で各$j\in J$に対して$m^{\prime }(j)=-m(j)$を満たすものはそういうものである、なぜなら、$(m^{\prime }+m)(j)=m^{\prime }(j)+m(j)=-m(j)+m(j)=0=m_0(j)$。

6) $\mathrm{\forall }m\in {\times }_{j\in J}{M}_j,\mathrm{\forall }r\in R(r.m\in {\times }_{j\in J}{M}_j)$ （スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: 各$j\in J$に対して、$(r.m)(j)=rm(j)\in M_j$。

7) $\mathrm{\forall }m\in {\times }_{j\in J}{M}_j,\mathrm{\forall }{r}_1,r_2\in R((r_1+r_2).m=r_1.m+r_2.m)$ （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: 各$j\in J$に対して、$((r_1+r_2).m)(j)=(r_1+r_2)m(j)=r_{1}m(j)+r_{2}m(j)=(r_{1}m)(j)+(r_{2}m)(j)=(r_1.m+r_2.m)(j))$。

8) $\mathrm{\forall }m,m^{\prime }\in {\times }_{j\in J}{M}_j,\mathrm{\forall }r\in R(r.(m+m^{\prime })=r.m+r.m^{\prime })$ （要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: 各$j\in J$に対して、$(r.(m+m^{\prime }))(j)=r(m+m^{\prime })(j)=r(m(j)+m^{\prime }(j))=rm(j)+r{m}^{\prime }(j)=(rm)(j)+(r{m}^{\prime })(j)=(r.m+r.m^{\prime })(j)$。

9) $\mathrm{\forall }m\in {\times }_{j\in J}{M}_j,\mathrm{\forall }{r}_1,r_2\in R((r_1{r}_2).m=r_1.(r_2.m))$ （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: 各$j\in J$に対して、$((r_1{r}_2).m)(j)=(r_1{r}_2)m(j)=r_1(r_{2}m(j))=r_1.(r_2.m)(j)$。

10) $\mathrm{\forall }m\in {\times }_{j\in J}{M}_j(1.m=m)$ （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: 各$j\in J$に対して、$(1.m)(j)=1m(j)=m(j)$。

$M_1\times ...\times M_k$は本当に$R$モジュール（加群）であることを見よう。

1) $\mathrm{\forall }m,m^{\prime }\in M_1\times ...\times M_k(m+m^{\prime }\in M_1\times ...\times M_k)$ (アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: $m=(m_1,...,m_k)$および$m^{\prime }=(m_1^{\prime },...,m_k^{\prime })$に対して、$m+m^{\prime }=(m_1,...,m_k)+(m_1^{\prime },...,m_k^{\prime })=(m_1+m_1^{\prime },...,m_k+m_k^{\prime })\in M_1\times ...\times M_k$。

2) $\mathrm{\forall }m,m^{\prime }\in M_1\times ...\times M_k(m+m^{\prime }=m^{\prime }+m)$ （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: $m=(m_1,...,m_k)$および$m^{\prime }=(m_1^{\prime },...,m_k^{\prime })$に対して、$m+m^{\prime }=(m_1,...,m_k)+(m_1^{\prime },...,m_k^{\prime })=(m_1+m_1^{\prime },...,m_k+m_k^{\prime })=(m_1^{\prime }+m_1,...,m_k^{\prime }+m_k)=m^{\prime }+m$。

3) $\mathrm{\forall }m,m^{\prime },m^{″}\in M_1\times ...\times M_k((m+m^{\prime })+m^{″}=m+(m^{\prime }+m^{″}))$ （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））; $m=(m_1,...,m_k)$、$m^{\prime }=(m_1^{\prime },...,m_k^{\prime })$、$m^{″}=(m_1^{″},...,m_k^{″})$に対して、$(m+m^{\prime })+m^{″}=(m_1+m_1^{\prime },...,m_k+m_k^{\prime })+(m_1^{″},...,m_k^{″})=(m_1+m_1^{\prime }+m_1^{″},...,m_k+m_k^{\prime }+m_k^{″})=m+(m_1^{\prime }+m_1^{″},...,m_k^{\prime }+m_k^{″})=m+(m^{\prime }+m^{″})$。

4) $\mathrm{\exists }0\in M_1\times ...\times M_k(\mathrm{\forall }m\in M_1\times ...\times M_k(m+0=m))$ （0要素の存在）: $m_0\in M_1\times ...\times M_k$で$m_0=(0,...,0)$を満たすものは$0$である、なぜなら、$m=(m_1,...,m_k)$に対して、$m+m_0=(m_1,...,m_k)+(0,...,0)=(m_1+0,...,m_k+0)=(m_1,...,m_k)=m$。

5) $\mathrm{\forall }m\in M_1\times ...\times M_k(\mathrm{\exists }{m}^{\prime }\in M_1\times ...\times M_k(m^{\prime }+m=0))$ （インバース（逆）要素の存在）: $m^{\prime }\in M_1\times ...\times M_k$で$m=(m_1,...,m_k)$ｎ対して$m^{\prime }=(-m_1,...,-m_k)$を満たすものはそういうものである、なぜなら、$m^{\prime }+m=(-m_1,...,-m_k)+(m_1,...,m_k)=(-m_1+m_1,...,-m_k+m_k)=(0,...,0)=m_0$。

6) $\mathrm{\forall }m\in M_1\times ...\times M_k,\mathrm{\forall }r\in R(r.m\in M_1\times ...\times M_k)$ （スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: $m=(m_1,...,m_k)$に対して、$r.m=(r{m}_1,...,r{m}_k)\in M_j$。

7) $\mathrm{\forall }m\in M_1\times ...\times M_k,\mathrm{\forall }{r}_1,r_2\in R((r_1+r_2).m=r_1.m+r_2.m)$ （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: $m=(m_1,...,m_k)$に対して、$(r_1+r_2).m=((r_1+r_2)m_1,...,(r_1+r_2)m_k)=(r_1{m}_1+r_2{m}_1,...,r_1{m}_k+r_2{m}_k)=(r_1{m}_1,...,r_1{m}_k)+(r_2{m}_1,...,r_2{m}_k)=r_1.m+r_2.m)$。

8) $\mathrm{\forall }m,m^{\prime }\in M_1\times ...\times M_k,\mathrm{\forall }r\in R(r.(m+m^{\prime })=r.m+r.m^{\prime })$ （要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: $m=(m_1,...,m_k)$および$m^{\prime }=(m_1^{\prime },...,m_k^{\prime })$に対して、$r.(m+m^{\prime })=r(m_1+m_1^{\prime },...,m_k+m_k^{\prime })=(r(m_1+m_1^{\prime }),...,r(m_k+m_k^{\prime }))=(r{m}_1+r{m}_1^{\prime },...,r{m}_k+r{m}_k^{\prime })=(r{m}_1,...,r{m}_k)+(r{m}_1^{\prime },...,r{m}_k^{\prime })=r.m+r.m^{\prime }$。

9) $\mathrm{\forall }m\in M_1\times ...\times M_k,\mathrm{\forall }{r}_1,r_2\in R((r_1{r}_2).m=r_1.(r_2.m))$ （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: $m=(m_1,...,m_k)$に対して、$(r_1{r}_2).m=(r_1{r}_2)(m_1,...,m_k)=(r_1{r}_2{m}_1,...,r_1{r}_2{m}_k)=r_1(r_2{m}_1,...,r_2{m}_k)=r_1.(r_2.m)$。

10) $\mathrm{\forall }m\in M_1\times ...\times M_k(1.m=m)$ （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: $m=(m_1,...,m_k)$に対して、$1.m=1(m_1,...,m_k)=(1m_1,...,1m_k)=(m_1,...,m_k)=m$。

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参考資料

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