2025年1月12日日曜日

946: プロダクトベクトルたちスペース（空間）

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プロダクトベクトルたちスペース（空間）の定義

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、プロダクトベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
J: ∈{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
{Vj|j∈J}: ⊆{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
∗×j∈JVj: = 当該プロダクトセット（集合） , ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }で、下に指定されるオペレーションたちを持つもの
//

コンディションたち:
∀r∈F,∀f∈×j∈JVj(∀j∈J((rf)(j)=r(f(j))))
∧
∀f,f′∈×j∈JVj(∀j∈J((f+f′)(j)=f(j)+f′(j)))
//

2: 構造化された記述2


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
{V1,...,Vk}: ⊆{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
∗V1×...×Vk: = 当該プロダクトセット（集合） , ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }で、下に指定されるオペレーションたちを持つもの
//

コンディションたち:
∀r∈F,∀v=(v1,...,vk)∈V1×...×Vk(rv=(rv1,...,rvk))
∧
∀v=(v1,...,vk),v′=(v1′,...,vk′)∈V1×...×Vk(v+v′=(v1+v1′,...,vk+vk′))
//

3: 注


×j∈JVjは本当にFベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。

1) 任意の要素たちf,f′∈×j∈JVjに対して、f+f′∈×j∈JVj （アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: 各j∈Jに対して、(f+f′)(j)=f(j)+f′(j)∈Vj。

2) 任意の要素たちf,f′∈×j∈JVjに対して、f+f′=f′+f （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: 各j∈Jに対して、(f+f′)(j)=f(j)+f′(j)=f′(j)+f(j)=(f′+f)(j)。

3) 任意の要素たちf,f′,f″∈×j∈JVjに対して、(f+f′)+f″=f+(f′+f″) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: 各j∈Jに対して、((f+f′)+f″)(j)=(f+f′)(j)+f″(j)=f(j)+f′(j)+f″(j)=f(j)+(f′+f″)(j)=(f+(f′+f″))(j)。

4) 以下を満たすある0要素0∈×j∈JVj、つまり、任意のf∈×j∈JVjに対して、f+0=f、がある （0ベクトルの存在）: f0∈×j∈JVjで各j∈Jに対してf0(j)=0を満たすものは0である、なぜなら、(f+f0)(j)=f(j)+f0(j)=f(j)。

5) 任意の要素f∈×j∈JVjに対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素f′∈×j∈JVj、つまり、f′+f=0、がある （インバース（逆）ベクトルの存在）: f′∈×j∈JVjで各j∈Jに対してf′(j)=−f(j)を満たすものはそういうものである、なぜなら、(f′+f)(j)=f′(j)+f(j)=−f(j)+f(j)=0。

6) 任意の要素f∈×j∈JVjおよび任意のスカラーr∈Fに対して、r.f∈×j∈JVj （スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: (r.f)(j)=rf(j)∈Vj。

7) 任意の要素f∈×j∈JVjおよび任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1+r2).f=r1.f+r2.f （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: 各j∈Jに対して、((r1+r2).f)(j)=(r1+r2)f(j)=r1f(j)+r2f(j)=(r1f)(j)+(r2f)(j)=(r1.f+r2.f)(j)。

8) 任意の要素たちf,f′∈×j∈JVjおよび任意のスカラーr∈Fに対して、r.(f+f′)=r.f+r.f′ （ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: 各j∈Jに対して、(r.(f+f′))(j)=r(f+f′)(j)=r(f(j)+f′(j))=rf(j)+rf′(j)=(rf)(j)+(rf′)(j)=(r.f+r.f′)(j)。

9) 任意の要素f∈×j∈JVjおよび任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1r2).f=r1.(r2.f) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: 各j∈Jに対して、((r1r2).f)(j)=(r1r2)f(j)=r1(r2f(j))=r1((r2f)(j))=(r1.(r2.f))(j)。

10) 任意の要素f∈×j∈JVjに対して、1.f=f （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: 各j∈Jに対して、(1.f)(j)=1.(f(j))=f(j)。

V1×...×Vkは本当にFベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。

1) 任意の要素たちv,v′∈V1×...×Vkに対して、v+v′∈V1×...×Vk （アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: v=(v1,...,vk)およびv′=(v1′,...,vk′)に対して、v+v′=(v1+v1′,...,vk+vk′)∈V1×...×Vk。

2) 任意の要素たちv,v′∈V1×...×Vkに対して、v+v′=v′+v （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: v=(v1,...,vk)およびv′=(v1′,...,vk′)に対して、v+v′=(v1,...,vk)+(v1′,...,vk′)=(v1+v1′,...,vk+vk′)=(v1′+v1,...,vk′+vk)=(v1′,...,vk′)+(v1,...,vk)=v′+v。

3) 任意の要素たちv,v′,v″∈V1×...×Vkに対して、(v+v′)+v″=v+(v′+v″) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: v=(v1,...,vk)、v′=(v1′,...,vk′)、v″=(v1″,...,vk″)に対して、(v+v′)+v″=(v1+v1′,...,vk+vk′)+(v1″,...,vk″)=(v1+v1′+v1″,...,vk+vk′+vk″)=(v1,...,vk)+(v1′+v1″,...,vk′+vk″)=v+(v′+v″)。

4) 以下を満たすある0要素0∈V1×...×Vk、つまり、任意のv∈V1×...×Vkに対して、v+0=v、がある （0ベクトルの存在）: v0=(0,...,0)∈V1×...×Vkは0である、なぜなら、v=(v1,...,vk)に対して、v0+v=(0+v1,...,0+vk)=(v1,...,vk)=v。

5) 任意の要素v∈V1×...×Vkに対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素v′∈V1×...×Vk、つまり、v′+v=0、がある （インバース（逆）ベクトルの存在）: v=(v1,...,vk)に対して、v′=(−v1,...,−vk)∈V1×...×Vkそういうものである、なぜなら、v′+v=(−v1,...,−vk)+(v1,...,vk)=(−v1+v1,...,−vk+vk)=(0,...,0)=0。

6) 任意の要素v∈V1×...×Vkおよび任意のスカラーr∈Fに対して、r.v∈V1×...×Vk （スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: v=(v1,...,vk)に対して、r.v=(rv1,...,rvk)∈V1×...×Vk。

7) 任意の要素v∈V1×...×Vkおよび任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1+r2).v=r1.v+r2.v （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: v=(v1,...,vk)に対して、(r1+r2).v=((r1+r2)v1,...,(r1+r2)vk)=(r1v1+r2v1,...,r1vk+r2vk)=(r1v1,...,r1vk)+(r2v1,...,r2vk)=r1(v1,...,vk)+r2(v1,...,vk)=r1.v1+r2.v2。

8) 任意の要素たちv,v′∈V1×...×Vkおよび任意のスカラーr∈Fに対して、r.(v+v′)=r.v+r.v′ （ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: v=(v1,...,vk)およびv′=(v1′,...,vk′)に対して、r.(v+v′)=r(v1+v1′,...,vk+vk′)=(r(v1+v1′),...,r(vk+vk′))=(rv1+rv1′,...,rvk+rvk′)=(rv1,...,rvk)+(rv1′,...,rvk′)=r(v1,...,vk)+r(v1′,...,vk′)=r.v+r.v′。

9) 任意の要素v∈V1×...×Vkおよび任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1r2).v=r1.(r2.v) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: v=(v1,...,vk)に対して、(r1r2).v=((r1r2)v1,...,(r1r2)vk)=(r1(r2v1),...,r1(r2vk))=r1(r2v1,...,r2vk)=r1.(r2.v)。

10) 任意の要素v∈V1×...×Vkに対して、1.v=v （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: v=(v1,...,vk)に対して、1.v=(1v1,...,1vk)=(v1,...,vk)=v。

参考資料
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