プロダクトベクトルたちスペース（空間）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、プロダクトベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{V_j \vert j \in J\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(*\times_{j \in J} V_j\): \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、下に指定されるオペレーションたちを持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall r \in F, \forall f \in \times_{j \in J} V_j (\forall j \in J ((r f) (j) = r (f (j))))\)
\(\land\)
\(\forall f, f' \in \times_{j \in J} V_j (\forall j \in J ((f + f') (j) = f (j) + f' (j)))\)
//
2: 構造化された記述2
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{V_1, ..., V_k\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(*V_1 \times ... \times V_k\): \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、下に指定されるオペレーションたちを持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall r \in F, \forall v = (v_1, ..., v_k) \in V_1 \times ... \times V_k (r v = (r v_1, ..., r v_k))\)
\(\land\)
\(\forall v = (v_1, ..., v_k), v' = (v'_1, ..., v'_k) \in V_1 \times ... \times V_k (v + v' = (v_1 + v'_1, ..., v_k + v'_k))\)
//
3: 注
\(\times_{j \in J} V_j\)は本当に\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
1) 任意の要素たち\(f, f' \in \times_{j \in J} V_j\)に対して、\(f + f' \in \times_{j \in J} V_j\) （アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: 各\(j \in J\)に対して、\((f + f') (j) = f (j) + f' (j) \in V_j\)。
2) 任意の要素たち\(f, f' \in \times_{j \in J} V_j\)に対して、\(f + f' = f' + f\) （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: 各\(j \in J\)に対して、\((f + f') (j) = f (j) + f' (j) = f' (j) + f (j) = (f' + f) (j)\)。
3) 任意の要素たち\(f, f', f'' \in \times_{j \in J} V_j\)に対して、\((f + f') + f'' = f + (f' + f'')\) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: 各\(j \in J\)に対して、\(((f + f') + f'') (j) = (f + f') (j) + f'' (j) = f (j) + f' (j) + f'' (j) = f (j) + (f' + f'') (j) = (f + (f' + f'')) (j)\)。
4) 以下を満たすある0要素\(0 \in \times_{j \in J} V_j\)、つまり、任意の\(f \in \times_{j \in J} V_j\)に対して、\(f + 0 = f\)、がある （0ベクトルの存在）: \(f_0 \in \times_{j \in J} V_j\)で各\(j \in J\)に対して\(f_0 (j) = 0\)を満たすものは\(0\)である、なぜなら、\((f + f_0) (j) = f (j) + f_0 (j) = f (j)\)。
5) 任意の要素\(f \in \times_{j \in J} V_j\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(f' \in \times_{j \in J} V_j\)、つまり、\(f' + f = 0\)、がある （インバース（逆）ベクトルの存在）: \(f' \in \times_{j \in J} V_j\)で各\(j \in J\)に対して\(f' (j) = - f (j)\)を満たすものはそういうものである、なぜなら、\((f' + f) (j) = f' (j) + f (j) = - f (j) + f (j) = 0\)。
6) 任意の要素\(f \in \times_{j \in J} V_j\)および任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . f \in \times_{j \in J} V_j\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: \((r . f) (j) = r f (j) \in V_j\)。
7) 任意の要素\(f \in \times_{j \in J} V_j\)および任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 + r_2) . f = r_1 . f + r_2 . f\) （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: 各\(j \in J\)に対して、\(((r_1 + r_2) . f) (j) = (r_1 + r_2) f (j) = r_1 f (j) + r_2 f (j) = (r_1 f) (j) + (r_2 f) (j) = (r_1 . f + r_2 . f) (j)\)。
8) 任意の要素たち\(f, f' \in \times_{j \in J} V_j\)および任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . (f + f') = r . f + r . f'\) （ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: 各\(j \in J\)に対して、\((r . (f + f')) (j) = r (f + f') (j) = r (f (j) + f' (j)) = r f (j) + r f' (j) = (r f) (j) + (r f') (j) = (r . f + r . f') (j)\)。
9) 任意の要素\(f \in \times_{j \in J} V_j\)および任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 r_2) . f = r_1 . (r_2 . f)\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: 各\(j \in J\)に対して、\(((r_1 r_2) . f) (j) = (r_1 r_2) f (j) = r_1 (r_2 f (j)) = r_1 ((r_2 f) (j)) = (r_1 . (r_2 . f)) (j)\)。
10) 任意の要素\(f \in \times_{j \in J} V_j\)に対して、\(1 . f = f\) （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: 各\(j \in J\)に対して、\((1 . f) (j) = 1 . (f (j)) = f (j)\)。
\(V_1 \times ... \times V_k\)は本当に\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
1) 任意の要素たち\(v, v' \in V_1 \times ... \times V_k\)に対して、\(v + v' \in V_1 \times ... \times V_k\) （アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: \(v = (v_1, ..., v_k)\)および\(v' = (v'_1, ..., v'_k)\)に対して、\(v + v' = (v_1 + v'_1, ..., v_k + v'_k) \in V_1 \times ... \times V_k\)。
2) 任意の要素たち\(v, v' \in V_1 \times ... \times V_k\)に対して、\(v + v' = v' + v\) （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: \(v = (v_1, ..., v_k)\)および\(v' = (v'_1, ..., v'_k)\)に対して、\(v + v' = (v_1, ..., v_k) + (v'_1, ..., v'_k) = (v_1 + v'_1, ..., v_k + v'_k) = (v'_1 + v_1, ..., v'_k + v_k) = (v'_1, ..., v'_k) + (v_1, ..., v_k) = v' + v\)。
3) 任意の要素たち\(v, v', v'' \in V_1 \times ... \times V_k\)に対して、\((v + v') + v'' = v + (v' + v'')\) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(v = (v_1, ..., v_k)\)、\(v' = (v'_1, ..., v'_k)\)、\(v'' = (v''_1, ..., v''_k)\)に対して、\((v + v') + v'' = (v_1 + v'_1, ..., v_k + v'_k) + (v''_1, ..., v''_k) = (v_1 + v'_1 + v''_1, ..., v_k + v'_k + v''_k) = (v_1, ..., v_k) + (v'_1 + v''_1, ..., v'_k + v''_k) = v + (v' + v'')\)。
4) 以下を満たすある0要素\(0 \in V_1 \times ... \times V_k\)、つまり、任意の\(v \in V_1 \times ... \times V_k\)に対して、\(v + 0 = v\)、がある （0ベクトルの存在）: \(v_0 = (0, ..., 0) \in V_1 \times ... \times V_k\)は\(0\)である、なぜなら、\(v = (v_1, ..., v_k)\)に対して、\(v_0 + v = (0 + v_1, ..., 0 + v_k) = (v_1, ..., v_k) = v\)。
5) 任意の要素\(v \in V_1 \times ... \times V_k\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(v' \in V_1 \times ... \times V_k\)、つまり、\(v' + v = 0\)、がある （インバース（逆）ベクトルの存在）: \(v = (v_1, ..., v_k)\)に対して、\(v' = (- v_1, ..., - v_k) \in V_1 \times ... \times V_k\)そういうものである、なぜなら、\(v' + v = (- v_1, ..., - v_k) + (v_1, ..., v_k) = (- v_1 + v_1, ..., - v_k + v_k) = (0, ..., 0) = 0\)。
6) 任意の要素\(v \in V_1 \times ... \times V_k\)および任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . v \in V_1 \times ... \times V_k\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: \(v = (v_1, ..., v_k)\)に対して、\(r . v = (r v_1, ..., r v_k) \in V_1 \times ... \times V_k\)。
7) 任意の要素\(v \in V_1 \times ... \times V_k\)および任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 + r_2) . v = r_1 . v + r_2 . v\) （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \(v = (v_1, ..., v_k)\)に対して、\((r_1 + r_2) . v = ((r_1 + r_2) v_1, ..., (r_1 + r_2) v_k) = (r_1 v_1 + r_2 v_1, ..., r_1 v_k + r_2 v_k) = (r_1 v_1, ..., r_1 v_k) + (r_2 v_1, ..., r_2 v_k) = r_1 (v_1, ..., v_k) + r_2 (v_1, ..., v_k) = r_1 . v_1 + r_2 . v_2\)。
8) 任意の要素たち\(v, v' \in V_1 \times ... \times V_k\)および任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . (v + v') = r . v + r . v'\) （ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: \(v = (v_1, ..., v_k)\)および\(v' = (v'_1, ..., v'_k)\)に対して、\(r . (v + v') = r (v_1 + v'_1, ..., v_k + v'_k) = (r (v_1 + v'_1), ..., r (v_k + v'_k)) = (r v_1 + r v'_1, ..., r v_k + r v'_k) = (r v_1, ..., r v_k) + (r v'_1, ..., r v'_k) = r (v_1, ..., v_k) + r (v'_1, ..., v'_k) = r . v + r . v'\)。
9) 任意の要素\(v \in V_1 \times ... \times V_k\)および任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 r_2) . v = r_1 . (r_2 . v)\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(v = (v_1, ..., v_k)\)に対して、\((r_1 r_2) . v = ((r_1 r_2) v_1, ..., (r_1 r_2) v_k) = (r_1 (r_2 v_1), ..., r_1 (r_2 v_k)) = r_1 (r_2 v_1, ..., r_2 v_k) = r_1 . (r_2 . v)\)。
10) 任意の要素\(v \in V_1 \times ... \times V_k\)に対して、\(1 . v = v\) （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: \(v = (v_1, ..., v_k)\)に対して、\(1 . v = (1 v_1, ..., 1 v_k) = (v_1, ..., v_k) = v\)。
