958: フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）である

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フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）であることの記述/証明

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話題

About: フィールド（体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブリング（部分リング（環））であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F_1$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$F_2$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$f$: $:F_1\to F_2$, $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}$
//

ステートメント（命題）たち:
$f(F_1)\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $f(F_1)$は$F_2$のサブリング（部分リング（環））であることを見る; ステップ2: $f(F_1)$はマルチプリケーション（乗法）の下にコミュータティブ（可換）であることを見る; ステップ3: $f(F_1)$の各要素はインバース（逆）を持つことを見る。

ステップ1:

$F_1$および$F_2$はリング（環）たちであり、$f$はリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）である。

任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブリング（部分リング（環））であるという命題によって、$f(F_1)$は$F_2$のサブリング（部分リング（環））である。

ステップ2:

$f(F_1)$はマルチプリケーション（乗法）の下にコミュータティブ（可換）である、なぜなら、当該マルチプリケーション（乗法）は周囲$F_2$（それは、当該マルチプリケーション（乗法）の下にコミュータティブ（可換）である）から継承されている。

ステップ3:

$f(F_1)$の各要素はあるインバース（逆）を持つことを見よう。

$f(r_1)\in f(F_1)$は任意としよう。

$f({r_1}^{-1})\in f(F_1)$は$f(r_1)$のインバース（逆）である: $f(r_1)f({r_1}^{-1})=f(r_1{r_1}^{-1})=f(1)=1$および$f({r_1}^{-1})f(r_1)=f({r_1}^{-1}{r}_1)=f(1)=1$。

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参考資料

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