フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）であることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブリング（部分リング（環））であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F_1\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(F_2\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(f\): \(:F_1 \to F_2\), \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（命題）たち:
\(f (F_1) \in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (F_1)\)は\(F_2\)のサブリング（部分リング（環））であることを見る; ステップ2: \(f (F_1)\)はマルチプリケーション（乗法）の下にコミュータティブ（可換）であることを見る; ステップ3: \(f (F_1)\)の各要素はインバース（逆）を持つことを見る。
ステップ1:
\(F_1\)および\(F_2\)はリング（環）たちであり、\(f\)はリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブリング（部分リング（環））であるという命題によって、\(f (F_1)\)は\(F_2\)のサブリング（部分リング（環））である。
ステップ2:
\(f (F_1)\)はマルチプリケーション（乗法）の下にコミュータティブ（可換）である、なぜなら、当該マルチプリケーション（乗法）は周囲\(F_2\)（それは、当該マルチプリケーション（乗法）の下にコミュータティブ（可換）である）から継承されている。
ステップ3:
\(f (F_1)\)の各要素はあるインバース（逆）を持つことを見よう。
\(f (r_1) \in f (F_1)\)は任意としよう。
\(f ({r_1}^{-1}) \in f (F_1)\)は\(f (r_1)\)のインバース（逆）である: \(f (r_1) f ({r_1}^{-1}) = f (r_1 {r_1}^{-1}) = f (1) = 1\)および\(f ({r_1}^{-1}) f (r_1) = f ({r_1}^{-1} r_1) = f (1) = 1\)。
