リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブリング（部分リング（環））であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブリング（部分リング（環））であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R_1\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(R_2\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(f\): \(:R_1 \to R_2\), \(\in \{\text{ 全てのリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (R_1) \in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (R_1)\)はアディション（加法）の下にアーベリアングループ（群）であることを見る; ステップ2: see that \(f (R_1)\)はマルチプリケーション（乗法）の下にモノイドであることを見る; ステップ3: マルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）であることを見る。
ステップ1:
\(f (R_1)\)はアディション（加法）の下にアーベリアングループ（群）であることを見よう。
\(R_1\)および\(R_2\)はアディション（加法）たちの下にグループ（群）たちであり、\(f\)は当該アディティブ（加法）グループ（群）たちに関してグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であるという命題によって、\(f (R_1)\)は\(R_2\)のアディティブ（加法）サブグループ（部分群）である。
\(f (R_1)\)はアディション（加法）の下にアーベリアンである、なぜなら、当該アディション（加法）は周囲\(R_2\)（それは、アディション（加法）の下にアーベリアンである）から継承されている。
ステップ2:
\(f (R_1)\)はマルチプリケーション（乗法）の下にモノイドであることを見よう。
\(f (R_1)\)は当該マルチプリケーション（乗法）の下に閉じている: 各\(f (r_1), f (r'_1) \in f (R_1)\)に対して、\(f (r_1) f (r'_1) = f (r_1 r'_1) \in f (R_1)\)。
当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、それは、周囲\(R_2\)（そのマルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である）から継承されている。
\(f (R_1)\)はアイデンティティ（単位）要素を持つ、なぜなら、\(f (1) = 1 \in f (R_1)\)。
ステップ3:
当該マルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）である、なぜなら、それは、周囲\(R_2\)内でそうである。
