957: リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブリング（部分リング（環））である

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リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブリング（部分リング（環））であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リング（環）の定義を知っている。
• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブリング（部分リング（環））であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R_1$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$R_2$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$f$: $:R_1\to R_2$, $\in \{\text{ 全てのリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f(R_1)\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $f(R_1)$はアディション（加法）の下にアーベリアングループ（群）であることを見る; ステップ2: see that $f(R_1)$はマルチプリケーション（乗法）の下にモノイドであることを見る; ステップ3: マルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）であることを見る。

ステップ1:

$f(R_1)$はアディション（加法）の下にアーベリアングループ（群）であることを見よう。

$R_1$および$R_2$はアディション（加法）たちの下にグループ（群）たちであり、$f$は当該アディティブ（加法）グループ（群）たちに関してグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である。

任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であるという命題によって、$f(R_1)$は$R_2$のアディティブ（加法）サブグループ（部分群）である。

$f(R_1)$はアディション（加法）の下にアーベリアンである、なぜなら、当該アディション（加法）は周囲$R_2$（それは、アディション（加法）の下にアーベリアンである）から継承されている。

ステップ2:

$f(R_1)$はマルチプリケーション（乗法）の下にモノイドであることを見よう。

$f(R_1)$は当該マルチプリケーション（乗法）の下に閉じている: 各$f(r_1),f(r_1^{\prime })\in f(R_1)$に対して、$f(r_1)f(r_1^{\prime })=f(r_1{r}_1^{\prime })\in f(R_1)$。

当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、それは、周囲$R_2$（そのマルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である）から継承されている。

$f(R_1)$はアイデンティティ（単位）要素を持つ、なぜなら、$f(1)=1\in f(R_1)$。

ステップ3:

当該マルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）である、なぜなら、それは、周囲$R_2$内でそうである。

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参考資料

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