リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブ（部分）アルジェブラ（多元環）であることの記述/証明
話題
About: リーアルジェブラ（多元環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブ（部分）ベクトルたちスペース（空間）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブ（部分）アルジェブラ（多元環）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ リーアルジェブラ（多元環）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ リーアルジェブラ（多元環）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (V_1) \in \{V_2 \text{ の全てのリーサブ（部分）アルジェブラ（多元環）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (V_1)\)は\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見る; ステップ2: \(f (V_1)\)は、リーアルジェブラ（多元環）であるための他の諸要件たちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(f (V_1)\)は\(F\)ベクトルたちスペース（空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブ（部分）ベクトルたちスペース（空間）であるという命題によって。
ステップ2:
任意の\(f (v), f (v') \in f (V_1)\)に対して、\([f (v), f (v')] = f ([v, v']) \in f (V_1)\)。
\(f (v), f (v'), f (v'') \in f (V_1)\)は任意としよう。\(r, r' \in F\)は任意としよう。
1) \([r f (v) + r' f (v'), f (v'')] = r [f (v), f (v'')] + r' [f (v'), f (v'')]\) \(\land\) \([f (v''), r f (v) + r' f (v')] = r [f (v''), f (v)] + r' [f (v''), f (v')]\): それは、周囲\(V_2\)上で成立する。
2) \([f (v'), f (v)] = - [f (v), f (v')]\): それは、周囲\(V_2\)上で成立する。
3) \(\sum_{cyclic} [f (v), [f (v'), f (v'')]] = 0\): それは、周囲\(V_2\)上で成立する。
