935: リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブ（部分）アルジェブラ（多元環）である

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リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブ（部分）アルジェブラ（多元環）であることの記述/証明

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話題

About: リーアルジェブラ（多元環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブ（部分）ベクトルたちスペース（空間）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブ（部分）アルジェブラ（多元環）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V_1$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ リーアルジェブラ（多元環）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ リーアルジェブラ（多元環）たち }\}$
$f$: $:V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f(V_1)\in \{V_2\text{ の全てのリーサブ（部分）アルジェブラ（多元環）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $f(V_1)$は$F$ベクトルたちスペース（空間）であることを見る; ステップ2: $f(V_1)$は、リーアルジェブラ（多元環）であるための他の諸要件たちを満たすことを見る。

ステップ1:

$f(V_1)$は$F$ベクトルたちスペース（空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブ（部分）ベクトルたちスペース（空間）であるという命題によって。

ステップ2:

任意の$f(v),f(v^{\prime })\in f(V_1)$に対して、$[f(v),f(v^{\prime })]=f([v,v^{\prime }])\in f(V_1)$。

$f(v),f(v^{\prime }),f(v^{″})\in f(V_1)$は任意としよう。$r,r^{\prime }\in F$は任意としよう。

1) $[rf(v)+r^{\prime }f(v^{\prime }),f(v^{″})]=r[f(v),f(v^{″})]+r^{\prime }[f(v^{\prime }),f(v^{″})]$ $\wedge$ $[f(v^{″}),rf(v)+r^{\prime }f(v^{\prime })]=r[f(v^{″}),f(v)]+r^{\prime }[f(v^{″}),f(v^{\prime })]$: それは、周囲$V_2$上で成立する。

2) $[f(v^{\prime }),f(v)]=-[f(v),f(v^{\prime })]$: それは、周囲$V_2$上で成立する。

3) $\sum _{cyclic}[f(v),[f(v^{\prime }),f(v^{″})]]=0$: それは、周囲$V_2$上で成立する。

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参考資料

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