2025年1月7日火曜日

934: ベクトルたちスペース（空間）たち間リニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブ（部分）ベクトルたちスペース（空間）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
ベクトルたちスペース（空間）たち間リニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブ（部分）ベクトルたちスペース（空間）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブ（部分）ベクトルたちスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V1: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V2: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
f: :V1→V2, ∈{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }
ステートメント（言明）たち:
f(V1)∈{V2 の全てのサブベクトルたちスペース（空間）たち }
//

2: 証明


全体戦略: ステップ1: f(V1)はベクトルたちスペース（空間）であるための諸要件たちを満たすことを見る。

ステップ1:

1) 任意の要素たちf(v),f(v′)∈f(V1)に対して、f(v)+f(v′)∈f(V1) （アディション（加法）の下で閉じていること）: f(v)+f(v′)=f(v+v′)∈f(V1)。

2) 任意の要素たちf(v),f(v′)∈f(V1)に対して、f(v)+f(v′)=f(v′)+f(v) （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: それは、周囲V2上で成立する。

3) 任意の要素たちf(v),f(v′),f(v″)∈f(V1)に対して、(f(v)+f(v′))+f(v″)=f(v)+(f(v′)+f(v″)) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは、周囲V2上で成立する。

4) 以下を満たすある0要素0∈f(V1)、つまり、任意のf(v)∈f(V1)に対して、f(v)+0=f(v)、がある （0ベクトルの存在）: f(0)=0∈f(V1)がそれに該当する。

5) 任意の要素f(v)∈f(V1)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素f(v′)∈f(V1)、つまり、f(v′)+f(v)=0、がある （インバース（逆）ベクトルの存在）: f(−v)=−f(v)∈f(V1)がそれに該当する。

6) 任意の要素f(v)∈f(V1)、任意のスカラーr∈Fに対して、r.f(v)∈f(V1) （スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: f(rv)=r.f(v)∈f(V1)。

7) 任意の要素f(v)∈f(V1)、任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1+r2).f(v)=r1.f(v)+r2.f(v) （スカラーたちのアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは、周囲V2上で成立する。

8) 任意の要素たちf(v),f(v′)∈f(V1)、任意のスカラーr∈Fに対して、r.(f(v)+f(v′))=r.f(v)+r.f(v′) （要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは、周囲V2上で成立する。

9) 任意の要素f(v)∈f(V1)、任意スカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1r2).f(v)=r1.(r2.f(v)) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは、周囲V2上で成立する。

10) 任意の要素f(v)∈f(V1)に対して、1.f(v)=f(v) （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（単位性））: それは、周囲V2上で成立する。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: