ベクトルたちスペース（空間）たち間リニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブ（部分）ベクトルたちスペース（空間）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブ（部分）ベクトルたちスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
ステートメント（言明）たち:
\(f (V_1) \in \{V_2 \text{ の全てのサブベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (V_1)\)はベクトルたちスペース（空間）であるための諸要件たちを満たすことを見る。
ステップ1:
1) 任意の要素たち\(f (v), f (v') \in f (V_1)\)に対して、\(f (v) + f (v') \in f (V_1)\) （アディション（加法）の下で閉じていること）: \(f (v) + f (v') = f (v + v') \in f (V_1)\)。
2) 任意の要素たち\(f (v), f (v') \in f (V_1)\)に対して、\(f (v) + f (v') = f (v') + f (v)\) （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: それは、周囲\(V_2\)上で成立する。
3) 任意の要素たち\(f (v), f (v'), f (v'') \in f (V_1)\)に対して、\((f (v) + f (v')) + f (v'') = f (v) + (f (v') + f (v''))\) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは、周囲\(V_2\)上で成立する。
4) 以下を満たすある0要素\(0 \in f (V_1)\)、つまり、任意の\(f (v) \in f (V_1)\)に対して、\(f (v) + 0 = f (v)\)、がある （0ベクトルの存在）: \(f (0) = 0 \in f (V_1)\)がそれに該当する。
5) 任意の要素\(f (v) \in f (V_1)\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(f (v') \in f (V_1)\)、つまり、\(f (v') + f (v) = 0\)、がある （インバース（逆）ベクトルの存在）: \(f (- v) = - f (v) \in f (V_1)\)がそれに該当する。
6) 任意の要素\(f (v) \in f (V_1)\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . f (v) \in f (V_1)\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: \(f (r v) = r . f (v) \in f (V_1)\)。
7) 任意の要素\(f (v) \in f (V_1)\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 + r_2) . f (v) = r_1 . f (v) + r_2 . f (v)\) （スカラーたちのアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは、周囲\(V_2\)上で成立する。
8) 任意の要素たち\(f (v), f (v') \in f (V_1)\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . (f (v) + f (v')) = r . f (v) + r . f (v')\) （要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは、周囲\(V_2\)上で成立する。
9) 任意の要素\(f (v) \in f (V_1)\)、任意スカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 r_2) . f (v) = r_1 . (r_2 . f (v))\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは、周囲\(V_2\)上で成立する。
10) 任意の要素\(f (v) \in f (V_1)\)に対して、\(1 . f (v) = f (v)\) （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（単位性））: それは、周囲\(V_2\)上で成立する。
