ベクトルたちスペース（空間）たち間リニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
\(f (V_1)\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (V_1) \in \{V_2 \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (V_1)\)はリニアコンビネーション（線形結合）下で閉じていることを見る。
ステップ1:
\(f (V_1)\)はリニアコンビネーション（線形結合）下で閉じていることを見る。
\(f (v), f (v') \in f (V_1)\)および\(r, r' \in F\)を任意のものとする。
\(r f (v) + r' f (v') = f (r v + r' v') \in f (V_1)\)、なぜなら、\(f\)はリニア（線形）である。
任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(f (V_1)\)は\(V_2\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である。
