2025年1月7日火曜日

933: モジュール（加群）たち間リニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブモジュール（部分加群）である

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モジュール（加群）たち間リニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブモジュール（部分加群）であることの記述/証明

話題


About: モジュール（加群）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のモジュール（加群）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブモジュール（部分加群）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
R: ∈{ 全てのリング（環）たち }
M1: ∈{ 全ての R モジュール（加群）たち }
M2: ∈{ 全て R モジュール（加群）たち }
f: :M1→M2, ∈{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }
ステートメント（言明）たち:
f(M1)∈{M2 の全てのサブモジュール（部分加群）たち }
//

2: 証明


全体戦略: ステップ1: f(M1)はモジュール（加群）であるための諸要件たちを満たすことを見る。

ステップ1:

1) ∀f(m),f(m′)∈f(M1)(f(m)+f(m′)∈f(M1)) （アディション（加法）の下で閉じていること）: f(m)+f(m′)=f(m+m′)∈f(M1)。

2) ∀f(m),f(m′)∈f(M1)(f(m)+f(m′)=f(m′)+f(m)) （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: それは、周囲M2上で成立する。

3) ∀f(m),f(m′),f(m″)∈f(M1)((f(m)+f(m′))+f(m″)=f(m)+(f(m′)+f(m″))) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは、周囲M2上で成立する。

4) ∃0∈f(M1)(∀f(m)∈f(M1)(f(m)+0=f(m))) （0要素の存在）: f(0)=0∈f(M1)がそれに該当する。

5) ∀f(m)∈f(M1)(∃f(m′)∈f(M1)(f(m′)+f(m)=0)) （インバース（逆）要素の存在）: f(−m)=−f(m)∈f(V1)がそれに該当する。

6) ∀f(m)∈f(M1),∀r∈R(r.f(m)∈f(M1)) （スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: f(rm)=r.f(m)∈f(M1)。

7) ∀f(m)∈f(M1),∀r1,r2∈R((r1+r2).f(m)=r1.f(m)+r2.f(m)) （スカラーたちのアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは、周囲M2上で成立する。

8) ∀f(m),f(m′)∈f(M1),∀r∈R(r.(f(m)+f(m′))=r.f(m)+r.f(m′)) （要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは、周囲M2上で成立する。

9) ∀f(m)∈f(M1),∀r1,r2∈R((r1r2).f(m)=r1.(r2.f(m))) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは、周囲M2上で成立する。

10) ∀f(m)∈f(M1)(1.f(m)=f(m)) （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（単位性））: それは、周囲M2上で成立する。

参考資料
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