モジュール（加群）たち間リニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブモジュール（部分加群）であることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモジュール（加群）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブモジュール（部分加群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全て } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
ステートメント（言明）たち:
\(f (M_1) \in \{M_2 \text{ の全てのサブモジュール（部分加群）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (M_1)\)はモジュール（加群）であるための諸要件たちを満たすことを見る。
ステップ1:
1) \(\forall f (m), f (m') \in f (M_1) (f (m) + f (m') \in f (M_1))\) （アディション（加法）の下で閉じていること）: \(f (m) + f (m') = f (m + m') \in f (M_1)\)。
2) \(\forall f (m), f (m') \in f (M_1) (f (m) + f (m') = f (m') + f (m))\) （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: それは、周囲\(M_2\)上で成立する。
3) \(\forall f (m), f (m'), f (m'') \in f (M_1) ((f (m) + f (m')) + f (m'') = f (m) + (f (m') + f (m'')))\) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは、周囲\(M_2\)上で成立する。
4) \(\exists 0 \in f (M_1) (\forall f (m) \in f (M_1) (f (m) + 0 = f (m)))\) （0要素の存在）: \(f (0) = 0 \in f (M_1)\)がそれに該当する。
5) \(\forall f (m) \in f (M_1) (\exists f (m') \in f (M_1) (f (m') + f (m) = 0))\) （インバース（逆）要素の存在）: \(f (- m) = - f (m) \in f (V_1)\)がそれに該当する。
6) \(\forall f (m) \in f (M_1), \forall r \in R (r . f (m) \in f (M_1))\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: \(f (r m) = r . f (m) \in f (M_1)\)。
7) \(\forall f (m) \in f (M_1), \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 + r_2) . f (m) = r_1 . f (m) + r_2 . f (m))\) （スカラーたちのアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは、周囲\(M_2\)上で成立する。
8) \(\forall f (m), f (m') \in f (M_1), \forall r \in R (r . (f (m) + f (m')) = r . f (m) + r . f (m'))\) （要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは、周囲\(M_2\)上で成立する。
9) \(\forall f (m) \in f (M_1), \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 r_2) . f (m) = r_1 . (r_2 . f (m)))\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは、周囲\(M_2\)上で成立する。
10) \(\forall f (m) \in f (M_1) (1 . f (m) = f (m))\) （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（単位性））: それは、周囲\(M_2\)上で成立する。
