モジュール（加群）たち間リニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブモジュール（部分加群）であることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモジュール（加群）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブモジュール（部分加群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全て } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
\(f (M_1)\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (M_1) \in \{M_2 \text{ の全てのサブモジュール（部分加群）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (M_1)\)はリニアコンビネーション（線形結合）下で閉じていることを見る。
ステップ1:
\(f (M_1)\)はリニアコンビネーション（線形結合）下で閉じていることを見よう。
\(f (m), f (m') \in f (M_1)\)および\(r, r' \in R\)を任意のものとしよう。
\(r f (m) + r' f (m') = f (r m + r' m') \in f (M_1)\)、なぜなら、\(f\)はリニア（線形）である。
任意のモジュール（加群）に対して、当該モジュール（加群）の任意の非空サブセット（部分集合）はサブモジュール（部分加群）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）下で閉じている場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(f (M_1)\)は\(M_2\)のサブモジュール（部分加群）である。
