2025年1月7日火曜日

932: シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）がシンプリシャルコンプレックスである時、ユニオン（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのユニオン（和集合）である

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シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）がシンプリシャルコンプレックスである時、ユニオン（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）がシンプリシャルコンプレックスである時、当該ユニオン（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は当該構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
V1: ∈{ 全てのリアル（実）ベクトルたいスペース（空間）たち }
V2: ∈{ 全てのリアル（実）ベクトルたいスペース（空間）たち }
C1: ∈{V1 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }
C2: ∈{V2 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }
//

ステートメント（言明）たち:
(
V1∈{V2 の全てのサブスペース（部分空間）たち }∨V2∈{V1 の全てのサブスペース（部分空間）たち }
∧
C1∩C2∈{V1∪V2 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }
)
⟹
|C1∪C2|=|C1|∪|C2|
//

2: 自然言語記述


以下を満たす任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちV1,V2、つまり、V1はV2のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるかV2はV1のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、任意のシンプリシャルコンプレックスたち、V1上のC1およびV2上のC2、に対して、C1∪C2はV1∪V2上のシンプリシャルコンプレックスである時、|C1∪C2|=|C1|∪|C2|。

3: 注


シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）は必ずしもシンプリシャルコンプレックスではないという命題によって、C1∪C2は必ずしもシンプリシャルコンプレックスではない。これは、C1∪C2がそうである時についてである。

任意の2つのシンプリシャルコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプリシャルコンプレックスであり、当該インターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素シンプリシャルコンプレックスたちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているが、必ずしも等しくはないという命題と比較のこと。

4: 証明


全体戦略: ステップ1: |C1∪C2|⊆|C1|∪|C2|であることを見る; ステップ2: |C1|∪|C2|⊆|C1∪C2|であることを見る。

ステップ1:

p∈|C1∪C2|は任意であるとしよう。以下を満たすあるS∈C1∪C2、つまり、p∈S、がある。S∈C1またはS∈C2。p∈|C1|またはp∈|C2|、したがって、p∈|C1|∪|C2|。

ステップ2:

p∈|C1|∪|C2|は任意としよう。p∈|C1|またはp∈|C2|。以下を満たすあるS1∈C1、つまり、p∈S1、または以下を満たすあるS2∈C2、つまり、p∈S2、がある。もしも、前者が成立するのであれば、S1∈C1∪C2であるから、p∈|C1∪C2|; そうでなければ、同様に、p∈|C1∪C2|、したがって、p∈|C1∪C2|、どちらにせよ。

参考資料
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