シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）がシンプリシャルコンプレックスである時、ユニオン（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）がシンプリシャルコンプレックスである時、当該ユニオン（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は当該構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたいスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたいスペース（空間）たち }\}\)
\(C_1\): \(\in \{V_1 \text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}\)
\(C_2\): \(\in \{V_2 \text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(V_1 \in \{V_2 \text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\} \lor V_2 \in \{V_1 \text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(\land\)
\(C_1 \cap C_2 \in \{V_1 \cup V_2 \text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}\)
)
\(\implies\)
\(\vert C_1 \cup C_2 \vert = \vert C_1 \vert \cup \vert C_2 \vert\)
//
2: 自然言語記述
以下を満たす任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)、つまり、\(V_1\)は\(V_2\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるか\(V_2\)は\(V_1\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、任意のシンプリシャルコンプレックスたち、\(V_1\)上の\(C_1\)および\(V_2\)上の\(C_2\)、に対して、\(C_1 \cup C_2\)は\(V_1 \cup V_2\)上のシンプリシャルコンプレックスである時、\(\vert C_1 \cup C_2 \vert = \vert C_1 \vert \cup \vert C_2 \vert\)。
3: 注
シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）は必ずしもシンプリシャルコンプレックスではないという命題によって、\(C_1 \cup C_2\)は必ずしもシンプリシャルコンプレックスではない。これは、\(C_1 \cup C_2\)がそうである時についてである。
任意の2つのシンプリシャルコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプリシャルコンプレックスであり、当該インターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素シンプリシャルコンプレックスたちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているが、必ずしも等しくはないという命題と比較のこと。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\vert C_1 \cup C_2 \vert \subseteq \vert C_1 \vert \cup \vert C_2 \vert\)であることを見る; ステップ2: \(\vert C_1 \vert \cup \vert C_2 \vert \subseteq \vert C_1 \cup C_2 \vert\)であることを見る。
ステップ1:
\(p \in \vert C_1 \cup C_2 \vert\)は任意であるとしよう。以下を満たすある\(S \in C_1 \cup C_2\)、つまり、\(p \in S\)、がある。\(S \in C_1\)または\(S \in C_2\)。\(p \in \vert C_1 \vert\)または\(p \in \vert C_2 \vert\)、したがって、\(p \in \vert C_1 \vert \cup \vert C_2 \vert\)。
ステップ2:
\(p \in \vert C_1 \vert \cup \vert C_2 \vert\)は任意としよう。\(p \in \vert C_1 \vert\)または\(p \in \vert C_2 \vert\)。以下を満たすある\(S_1 \in C_1\)、つまり、\(p \in S_1\)、または以下を満たすある\(S_2 \in C_2\)、つまり、\(p \in S_2\)、がある。もしも、前者が成立するのであれば、\(S_1 \in C_1 \cup C_2\)であるから、\(p \in \vert C_1 \cup C_2 \vert\); そうでなければ、同様に、\(p \in \vert C_1 \cup C_2 \vert\)、したがって、\(p \in \vert C_1 \cup C_2 \vert\)、どちらにせよ。
