972: コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内のポリノミアル（多項式）のルート（根）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内のポリノミアル（多項式）のルート（根）の定義

---

話題

About: リング（環）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内のポリノミアル（多項式）のルート（根）の定義を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}$
$R[x]$: $=R\text{ 上方の全てのポリノミアル（多項式）たちリング（環） }$
$p(x)$: $\in R[x]$
$\ast r$: $\in R$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\exists }q(x)\in R[x](p(x)=(x-r)q(x))$
//

---

2: 注

私たちは、'ルート（根）'を$p(r)=0$としては定義しなかった。

$R$がフィールド（体）である時および$R$が必ずしもフィールド（体）でない時に何が含意されているかを私たちははっきりさせる必要がある。

$R$がフィールド（体）である時は、本定義は$p(r)=0$に等しい: もしも、$p(x)=(x-r)q(x)$である場合、$p(r)=(r-r)q(r)=0q(r)=0$; もしも、$p(r)=0$である場合、$p(x)=(p-r)q(x)$、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、任意の非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）のあるフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、当該ポリノミアル（多項式）はx - 当該要素を因子化できるという命題によって: $p(x)$がコンスタント（定数）である時、$p(x)=0$および$p(x)=(x-r)0$、いずれにせよ。

しかし、$R$が必ずしもフィールド（体）ではない時は、もしも、$p(x)=(x-r)q(x)$である場合、$p(r)=(r-r)q(r)=0q(r)=0$; しかし、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、任意の非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）のあるフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、当該ポリノミアル（多項式）はx - 当該要素を因子化できるという命題は適用できない、なぜなら、それは、$R[x]$はユークリディアンドメインであるという事実を利用している、それ（当該事実）は、$R$がフィールド（体）であるという要求に基づいて証明された。

したがって、一般に、本定義は、$p(r)=0$であることを保証する、しかし、$p(r)=0$が本定義を保証するとは私たちは証明しなかった。

ある$p(x)$に対して、ルート（根）は全然ないかもしれないし、複数ルート（根）たちがあるかもしれない。

どの$R[x]$内で私たちは考えているかを意識することが肝要である: $p(x)=x^2-2$は、$p(x)$を$\mathbb{Q}[x]$内にいるとみなしてはルート（根）を持たないが、$p(x)$を$\mathbb{R}[x]$内にいるとみなしてはルート（根）たち$\sqrt{2},-\sqrt{2}$を持つ。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>