973: フィールド（体）たち間のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）である

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フィールド（体）たち間のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: フィールド（体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）の定義を知っている。
• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）たち間の任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F_1$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$F_2$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$f$: $F_1\to F_2$, $\in \{\text{ 全てのリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全てのフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: チェックされる必要のある全ては、各$r_1\in F_1$に対して、$f(r_1^{-1})=f(r_1{)}^{-1}$であることを見る; ステップ2: $f(r_1^{-1})=f(r_1{)}^{-1}$であることを見る。

ステップ1:

任意のフィールド（体）はリング（環）であるから、$f$を"リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）"と呼ぶのは、意味をなしている。

'フィールド（体）'の'リング（環）'からの相違たちは、マルチプリカティブ（乗法）コミュータティブ（可換）であることと各非ゼロ要素がインバース（逆）を持つことだけであるところ、コミュータティビティ（可換性）は単に$F_1$または$F_2$内部だけの問題であって$f$の問題ではなく、$f$についての唯一の懸念は、各$r_1\in F_1$に対して$f(r_1^{-1})=f(r_1{)}^{-1}$であるかどうかである。

したがって、$f(r_1^{-1})=f(r_1{)}^{-1}$であることをチェックしよう。

ステップ2:

$r_1{r}_1^{-1}=r_1^{-1}{r}_1=1$。$f(r_1{r}_1^{-1})=f(r_1^{-1}{r}_1)=f(1)=1$。しかし、$f(r_1{r}_1^{-1})=f(r_1)f(r_1^{-1})$および$f(r_1^{-1}{r}_1)=f(r_1^{-1})f(r_1)$。したがって、$f(r_1)f(r_1^{-1})=f(r_1^{-1})f(r_1)=1$、それが意味するのは、$f(r_1{)}^{-1}=f(r_1^{-1})$。

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参考資料

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