フィールド（体）たち間のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）たち間の任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F_1\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(F_2\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(f\): \(F_1 \to F_2\), \(\in \{\text{ 全てのリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: チェックされる必要のある全ては、各\(r_1 \in F_1\)に対して、\(f (r_1^{-1}) = f (r_1)^{-1}\)であることを見る; ステップ2: \(f (r_1^{-1}) = f (r_1)^{-1}\)であることを見る。
ステップ1:
任意のフィールド（体）はリング（環）であるから、\(f\)を"リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）"と呼ぶのは、意味をなしている。
'フィールド（体）'の'リング（環）'からの相違たちは、マルチプリカティブ（乗法）コミュータティブ（可換）であることと各非ゼロ要素がインバース（逆）を持つことだけであるところ、コミュータティビティ（可換性）は単に\(F_1\)または\(F_2\)内部だけの問題であって\(f\)の問題ではなく、\(f\)についての唯一の懸念は、各\(r_1 \in F_1\)に対して\(f (r_1^{-1}) = f (r_1)^{-1}\)であるかどうかである。
したがって、\(f (r_1^{-1}) = f (r_1)^{-1}\)であることをチェックしよう。
ステップ2:
\(r_1 r_1^{-1} = r_1^{-1} r_1 = 1\)。\(f (r_1 r_1^{-1}) = f (r_1^{-1} r_1) = f (1) = 1\)。しかし、\(f (r_1 r_1^{-1}) = f (r_1) f (r_1^{-1})\)および\(f (r_1^{-1} r_1) = f (r_1^{-1}) f (r_1)\)。したがって、\(f (r_1) f (r_1^{-1}) = f (r_1^{-1}) f (r_1) = 1\)、それが意味するのは、\(f (r_1)^{-1} = f (r_1^{-1})\)。
