1018: モジュール（加群）たち間のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

モジュール（加群）たち間のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

---

話題

About: モジュール（加群）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
• 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
• 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のモジュール（加群）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$M_1$: $\in \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち }\}$
$f$: $:M_1\to M_2$, $\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\cap \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全ての'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
//

---

2: 注

一般に、あるバイジェクティブ（全単射）モーフィズム（射）は必ずしもアイソモーフィズム（同形写像）ではない: 例えば、あるバイジェクティブ（全単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）は必ずしも'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、当該インバース（逆）は必ずしもコンティニュアス（連続）ではない、それが、本命題を特に証明する必要がある理由である。

---

3: 証明

全体戦略: ステップ1: 当該インバース（逆）$f^{-1}:M_2\to M_1$を定義する; ステップ2: $f^{-1}$はリニア（線形）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$f$はバイジェクティブ（全単射）であるから、当該インバース（逆）$f^{-1}:M_2\to M_1$はウェルデファインド（妥当に定義された）である。

ステップ2:

$f^{-1}$はリニア（線形）であることを見よう。

$m_1,m_2\in M_2$および$r_1,r_2\in R$は任意のものであるとしよう。$f^{-1}(r_1{m}_1+r_2{m}_2)=r_1{f}^{-1}(m_1)+r_2{f}^{-1}(m_2)$？$f(r_1{f}^{-1}(m_1)+r_2{f}^{-1}(m_2))=r_{1}f(f^{-1}(m_1))+r_{2}f(f^{-1}(m_2))=r_1{m}_1+r_2{m}_2$、それが意味するのは、$f^{-1}(r_1{m}_1+r_2{m}_2)=r_1{f}^{-1}(m_1)+r_2{f}^{-1}(m_2)$。したがって、$f^{-1}$はリニア（線形）である。

ステップ3:

したがって、$f$は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>