モジュール（加群）たち間のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモジュール（加群）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\} \cap \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 注
一般に、あるバイジェクティブ（全単射）モーフィズム（射）は必ずしもアイソモーフィズム（同形写像）ではない: 例えば、あるバイジェクティブ（全単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）は必ずしも'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、当該インバース（逆）は必ずしもコンティニュアス（連続）ではない、それが、本命題を特に証明する必要がある理由である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 当該インバース（逆）\(f^{-1}: M_2 \to M_1\)を定義する; ステップ2: \(f^{-1}\)はリニア（線形）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、当該インバース（逆）\(f^{-1}: M_2 \to M_1\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
ステップ2:
\(f^{-1}\)はリニア（線形）であることを見よう。
\(m_1, m_2 \in M_2\)および\(r_1, r_2 \in R\)は任意のものであるとしよう。\(f^{-1} (r_1 m_1 + r_2 m_2) = r_1 f^{-1} (m_1) + r_2 f^{-1} (m_2)\)？\(f (r_1 f^{-1} (m_1) + r_2 f^{-1} (m_2)) = r_1 f (f^{-1} (m_1)) + r_2 f (f^{-1} (m_2)) = r_1 m_1 + r_2 m_2\)、それが意味するのは、\(f^{-1} (r_1 m_1 + r_2 m_2) = r_1 f^{-1} (m_1) + r_2 f^{-1} (m_2)\)。したがって、\(f^{-1}\)はリニア（線形）である。
ステップ3:
したがって、\(f\)は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
