1019: ベーシス（基底）たちを持つモジュール（加群）たち間リニアマップ（線形写像）に対して、もしも、その、ドメイン（定義域）ベーシス（基底）についてのリストリクション（制限）がコドメイン（余域）ベーシス（基底）の上へのバイジェクション（全単射）である場合、マップ（写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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ベーシス（基底）たちを持つモジュール（加群）たち間リニアマップ（線形写像）に対して、もしも、その、ドメイン（定義域）ベーシス（基底）についてのリストリクション（制限）がコドメイン（余域）ベーシス（基底）の上へのバイジェクション（全単射）である場合、マップ（写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: モジュール（加群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
• 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、ベーシス（基底）を持つモジュール（加群）に対して、要素のベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のモジュール（加群）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ベーシス（基底）たちを持つ任意のモジュール（加群）たち間任意のリニアマップ（線形写像）に対して、もしも、その、任意のドメイン（定義域）ベーシス（基底）についてのリストリクション（制限）が任意のコドメイン（余域）ベーシス（基底）の上へのバイジェクション（全単射）である場合、当該マップ（写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$M_1$: $\in \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち }\}$
$J_1$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
$J_2$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
$B_1$: $=\{b_{1,j}|j\in J_1\}$, $\in \{M_1\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$
$B_2$: $=\{b_{2,j}|j\in J_2\}$, $\in \{M_2\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$
$f$: $:M_1\to M_2$
//

ステートメント（言明）たち:
$f(B_1)=B_2\wedge f{|}_{B_1}:B_1\to B_2\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$
$⟹$
$f\in \{\text{ 全ての'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $f$はインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ2: $f$はサージェクティブ（全射）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$f$はインジェクティブ（単射）であることを見よう。

$m,m^{\prime }\in M_1$は$m\ne m^{\prime }$を満たす任意のものであるとしよう。

以下を満たすあるファイナイト（有限）$S\subseteq J_1$、つまり、$m=\sum _{j\in S}{m}^j{b}_{1,j}$、および以下を満たすあるファイナイト（有限）$S^{\prime }\subseteq J_1$、つまり、$m^{\prime }=\sum _{j\in S^{\prime }}{m}^{\prime j}{b}_{1,j}$、がある。

$S\cup S^{\prime }$を取り、各$j\in S\cup S^{\prime }$に対して、$j\in S$に対しては${\tilde{m}}^j=m^j$で$j\notin S$に対しては${\tilde{m}}^j=0$、$j\in S^{\prime }$に対しては${\widetilde{m^{\prime }}}^j=m^{\prime j}$で$j\notin S^{\prime }$に対しては${\widetilde{m^{\prime }}}^j=0$としよう。

$m=\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\tilde{m}}^j{b}_{1,j}$および$m^{\prime }=\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\widetilde{m^{\prime }}}^j{b}_{1,j}$。

$m\ne m^{\prime }$であるから、${\tilde{m}}^l\ne {\widetilde{m^{\prime }}}^l$、ある$l\in S\cup S^{\prime }$に対して。

$f(m)=f(\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\tilde{m}}^j{b}_{1,j})=\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\tilde{m}}^{j}f(b_{1,j})$、なぜなら、$f$はリニア（線形）である。

$f(m^{\prime })=f(\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\widetilde{m^{\prime }}}^j{b}_{1,j})=\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\widetilde{m^{\prime }}}^{j}f(b_{1,j})$、なぜなら、$f$はリニア（線形）である。

$f(B_1)=B_2$であるから、各$f(b_{1,j})$ は$B_2$の要素であり、$f{|}_{B_1}$はバイジェクティブ（全単射）であるから、$\{f(b_{1,j})|j\in S\cup S^{\prime }\}$は互いに異なる。

${\tilde{m}}^l\ne {\widetilde{m^{\prime }}}^l$であるから、$f(m)=\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\tilde{m}}^{j}f(b_{1,j})\ne \sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\widetilde{m^{\prime }}}^{j}f(b_{1,j})=f(m^{\prime })$、ベーシス（基底）を持つモジュール（加群）に対して、要素のベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって。

ステップ2:

$m\in M_2$は任意のものであるとしよう。

以下を満たすあるファイナイト（有限）$S\subseteq J_2$、つまり、$m=\sum _{j\in S}{m}^j{b}_{2,j}$、がある。

$f{|}_{B_1}:B_1\to B_2$はバイジェクティブ（全単射）であるから、当該インバース（逆）${f{|}_{B_1}}^{-1}:B_2\to B_1$がある。したがって、${f{|}_{B_1}}^{-1}(b_{2,j})\in B_1$。

$\sum _{j\in S}{m}^j{f{|}_{B_1}}^{-1}(b_{2,j})\in M_1$のことを考えよう。

$f(\sum _{j\in S}{m}^j{f{|}_{B_1}}^{-1}(b_{2,j}))=\sum _{j\in S}{m}^{j}f({f{|}_{B_1}}^{-1}(b_{2,j}))$、なぜなら、$f$はリニア（線形）である、$=\sum _{j\in S}{m}^j{b}_{2,j}=m$。

したがって、$f$はサージェクティブ（全射）である。

ステップ3:

任意のモジュール（加群）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、$f$は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

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参考資料

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