ファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）およびそのオーダーのプライムファクター（素数因子）に対して、ファクター（因子）オーダーのシクリックサブグループ（循環部分群）を特定の方法で抽出できることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）および当該グループ（群）のオーダーの任意のプライムファクター（素数因子）に対して、当該ファクター（因子）オーダーのあるシクリックサブグループ（循環部分群）を特定の方法で抽出できるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(p\): \(\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのシクリックグループ（循環群）たち }\}\)で、オーダー\(p n\)を持つもの、\(= \{g , ..., g^{p n} = 1\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G_p := \{g^n, g^{2 n}, ..., g^{p n}\} \in \{\text{ 全ての } p \text{ -オーダーシクリックグループ（循環群）たち } \}\)
//
2: 注
コーシーの定理によって、ある\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）（不可避に、シクリック（循環）、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって）が抽出できる、\(G\)がシクリック（循環）であることを要求することなく; 本命題の要点は、ある\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）が特定の方法で抽出できることである、"ある\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）がどこか知らないところに隠されている"ではなく。
本命題は、\(G_p\)が唯一の\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）であると主張しない、しかし、それは本当に唯一の\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）である、任意のファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）および当該グループ（群）のオーダーの任意のプライムファクター（素数因子）に対して、最大1つの当該ファクター（因子）オーダーサブグループ（部分群）があるという命題によって。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(G_p\)は本当に\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）であることを見る。
ステップ1:
\(G_p\)がサブグループ（部分群）であることを見よう。
任意の\(g^{j n}, g^{k n} \in G_p\)に対して、\(g^{j n} g^{k n} = g^{(j + k) n}\)。\(j + k = m p + l\)、ある\(m, l \in \mathbb{N}\)で\(0 \le l \lt p\)を満たすものたちに対して。\(g^{(j + k) n} = g^{(m p + l) n} = g^{m p n + l n} = g^{m p n} g^{l n} = (g^{p n})^m g^{l n} = 1^m g^{l n} = 1 g^{l n} = g^{l n}\)。\(0 \lt l \lt p\)である時、\(g^{l n} \in G_p\)。\(l = 0\)である時、\(g^{l n} = g^0 = 1 = g^{p n} \in G_p\)。したがって、\(g^{j n} g^{k n} \in G_p\)、いずれにせよ。
\(g^{p n} = 1 \in G_p\)。
各\(g^{j n} \in G_p\)に対して、\(g^{(p - j) n} \in G_p\)、そして、\(g^{j n} g^{(p - j) n} = g^{j n + (p - j) n} = g^{p n} = 1\); \(g^{(p - j) n} g^{j n} = g^{j n + (p - j) n} = g^{p n} = 1\)。
\(G_p\)は、\(p\)-オーダーである、なぜなら、\(\{g^n, g^{2 n}, ..., g^{p n}\}\)は互いに異なる、なぜなら、\(\{g , ..., g^{p n} = 1\}\)は互いに異なる。
