998: ファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）およびそのオーダーのプライムファクター（素数因子）に対して、ファクター（因子）オーダーのシクリックサブグループ（循環部分群）を特定の方法で抽出できる

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ファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）およびそのオーダーのプライムファクター（素数因子）に対して、ファクター（因子）オーダーのシクリックサブグループ（循環部分群）を特定の方法で抽出できることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）および当該グループ（群）のオーダーの任意のプライムファクター（素数因子）に対して、当該ファクター（因子）オーダーのあるシクリックサブグループ（循環部分群）を特定の方法で抽出できるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$p$: $\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$
$G$: $\in \{\text{ 全てのシクリックグループ（循環群）たち }\}$で、オーダー$pn$を持つもの、$=\{g,...,g^{pn}=1\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$G_p:=\{g^n,g^{2n},...,g^{pn}\}\in \{\text{ 全ての }p\text{ -オーダーシクリックグループ（循環群）たち }\}$
//

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2: 注

コーシーの定理によって、ある$p$-オーダーサブグループ（部分群）（不可避に、シクリック（循環）、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって）が抽出できる、$G$がシクリック（循環）であることを要求することなく; 本命題の要点は、ある$p$-オーダーサブグループ（部分群）が特定の方法で抽出できることである、"ある$p$-オーダーサブグループ（部分群）がどこか知らないところに隠されている"ではなく。

本命題は、$G_p$が唯一の$p$-オーダーサブグループ（部分群）であると主張しない、しかし、それは本当に唯一の$p$-オーダーサブグループ（部分群）である、任意のファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）および当該グループ（群）のオーダーの任意のプライムファクター（素数因子）に対して、最大1つの当該ファクター（因子）オーダーサブグループ（部分群）があるという命題によって。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $G_p$は本当に$p$-オーダーサブグループ（部分群）であることを見る。

ステップ1:

$G_p$がサブグループ（部分群）であることを見よう。

任意の$g^{jn},g^{kn}\in G_p$に対して、$g^{jn}{g}^{kn}=g^{(j+k)n}$。$j+k=mp+l$、ある$m,l\in \mathbb{N}$で$0\le l<p$を満たすものたちに対して。$g^{(j+k)n}=g^{(mp+l)n}=g^{mpn+ln}=g^{mpn}{g}^{ln}=(g^{pn}{)}^m{g}^{ln}=1^m{g}^{ln}=1g^{ln}=g^{ln}$。$0<l<p$である時、$g^{ln}\in G_p$。$l=0$である時、$g^{ln}=g^0=1=g^{pn}\in G_p$。したがって、$g^{jn}{g}^{kn}\in G_p$、いずれにせよ。

$g^{pn}=1\in G_p$。

各$g^{jn}\in G_p$に対して、$g^{(p-j)n}\in G_p$、そして、$g^{jn}{g}^{(p-j)n}=g^{jn+(p-j)n}=g^{pn}=1$; $g^{(p-j)n}{g}^{jn}=g^{jn+(p-j)n}=g^{pn}=1$。

$G_p$は、$p$-オーダーである、なぜなら、$\{g^n,g^{2n},...,g^{pn}\}$は互いに異なる、なぜなら、$\{g,...,g^{pn}=1\}$は互いに異なる。

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参考資料

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