ファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）およびそのオーダーのプライムファクター（素数因子）に対して、最大1つのファクター（因子）オーダーサブグループ（部分群）があることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）および当該グループ（群）のオーダーの任意のプライムファクター（素数因子）に対して、最大1つの当該ファクター（因子）オーダーサブグループ（部分群）があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(p\): \(\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのシクリックグループ（循環群）たち }\}\)で、オーダー\(p n\)を持つもの、\(= \{g , ..., g^{p n} = 1\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\vert \{G \text{ の全ての } p \text{ -オーダーサブグループ（部分群）たち }\} \vert \le 1\)
//
2: 注
任意のファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）および当該グループ（群）のオーダーの任意のプライムファクター（素数因子）に対して、当該ファクター（因子）オーダーのあるシクリックサブグループ（循環部分群）を特定の方法で抽出できるという命題によって、その命題内で言及されている\(p\)オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）がある、そして、実のところ、それが、\(G\)の唯一の\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）である、本命題によって。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）はある\(g^r\)、ここで、\(1 \le r \lt p n\)、によって生成されたシクリックグループ（循環群）であることを見る; ステップ2: \(r\)が満たす必要のある条件および\(p - 1\)つだけの可能性たちがあることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
任意の\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）はシクリックグループ（循環群）である、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって。
したがって、それは、\(G\)のある要素によって生成される、そして、当該要素を\(g^r\)、ここで、\(1 \le r \lt p n\)、としよう。
ステップ2:
\(r\)は\((g^r)^p = 1\)を満たす必要がある。
\((g^r)^p = g^{r p}\)。\(r p = p n m\)、ある\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して。したがって、\(r = n m\)。
\(1 \le r \lt p n\)であるから、可能性たちは、\(m = 1, ..., p - 1\)たちだけである。
したがって、当該\(p - 1\)要素たちだけが任意の\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）を生成できる可能性がある。
ステップ3:
もしも、2つの異なる\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）たちがあったら、当該2サブグループ（部分群）たちは\(1\)だけを共有することになる、任意の2つの異なるプライムナンバー（素数）-オーダーサブグループ（部分群）たちは1のみを共有するという命題によって。したがって、他の互いに異なる\(2 (p - 1)\)要素たちはある\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）を生成することになる、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって、それは、あれら\(p - 1\)要素たちだけが任意の\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）を生成できる可能性があるという事実に反する矛盾である。
したがって、最大1つの\(p\)-オーダーサブグループ（部分群）がある。
