997: ファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）およびそのオーダーのプライムファクター（素数因子）に対して、最大1つのファクター（因子）オーダーサブグループ（部分群）がある

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ファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）およびそのオーダーのプライムファクター（素数因子）に対して、最大1つのファクター（因子）オーダーサブグループ（部分群）があることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。
• 読者は、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題を認めている。
• 読者は、任意の2つの異なるプライムナンバー（素数）-オーダーサブグループ（部分群）たちは1のみを共有するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）および当該グループ（群）のオーダーの任意のプライムファクター（素数因子）に対して、最大1つの当該ファクター（因子）オーダーサブグループ（部分群）があるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$p$: $\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$
$G$: $\in \{\text{ 全てのシクリックグループ（循環群）たち }\}$で、オーダー$pn$を持つもの、$=\{g,...,g^{pn}=1\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$|\{G\text{ の全ての }p\text{ -オーダーサブグループ（部分群）たち }\}|\le 1$
//

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2: 注

任意のファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）および当該グループ（群）のオーダーの任意のプライムファクター（素数因子）に対して、当該ファクター（因子）オーダーのあるシクリックサブグループ（循環部分群）を特定の方法で抽出できるという命題によって、その命題内で言及されている$p$オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）がある、そして、実のところ、それが、$G$の唯一の$p$-オーダーサブグループ（部分群）である、本命題によって。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意の$p$-オーダーサブグループ（部分群）はある$g^r$、ここで、$1\le r<pn$、によって生成されたシクリックグループ（循環群）であることを見る; ステップ2: $r$が満たす必要のある条件および$p-1$つだけの可能性たちがあることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

任意の$p$-オーダーサブグループ（部分群）はシクリックグループ（循環群）である、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって。

したがって、それは、$G$のある要素によって生成される、そして、当該要素を$g^r$、ここで、$1\le r<pn$、としよう。

ステップ2:

$r$は$(g^r{)}^p=1$を満たす必要がある。

$(g^r{)}^p=g^{rp}$。$rp=pnm$、ある$m\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$に対して。したがって、$r=nm$。

$1\le r<pn$であるから、可能性たちは、$m=1,...,p-1$たちだけである。

したがって、当該$p-1$要素たちだけが任意の$p$-オーダーサブグループ（部分群）を生成できる可能性がある。

ステップ3:

もしも、2つの異なる$p$-オーダーサブグループ（部分群）たちがあったら、当該2サブグループ（部分群）たちは$1$だけを共有することになる、任意の2つの異なるプライムナンバー（素数）-オーダーサブグループ（部分群）たちは1のみを共有するという命題によって。したがって、他の互いに異なる$2(p-1)$要素たちはある$p$-オーダーサブグループ（部分群）を生成することになる、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって、それは、あれら$p-1$要素たちだけが任意の$p$-オーダーサブグループ（部分群）を生成できる可能性があるという事実に反する矛盾である。

したがって、最大1つの$p$-オーダーサブグループ（部分群）がある。

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参考資料

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