996: C∞カーブに沿ったC∞ベクトルたちフィールド（場）

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$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに沿った$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）の定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のカーブの定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに沿った$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$\mathbb{R}$: $=\text{ 当該ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
$J$: $=(t_1,t_2),[t_1,t_2],(t_1,t_2],\text{ または }[t_1,t_2)\subseteq \mathbb{R}$、で以下を満たすもの、$t_1<t_2$、$\mathbb{R}$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きとして
$\gamma$: $:J\to M$, $\in \{\text{ 全てのカーブたち }\}\cap \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
$\ast V$: $:J\to TM$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }j\in J(V(j)\in T_{\gamma (j)}M)$
$\wedge$
$V\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
//

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2: 注

本概念は、コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のコドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に沿ったセクション（断面）（それは、$\gamma (J)$からのマップ（写像）である、その一方で、本概念は$J$からのマップ（写像）である）とは違う: 本概念は、$:\gamma (J)\to TM$の$C^{\mathrm{\infty }}$-性について話していない。

本概念は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の、$C^{\mathrm{\infty }}$カーブのポイントにおけるベロシティに関するものではない: $V(j)$は$d\gamma (d/dt{|}_j)$である必要はない。

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参考資料

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