2025年2月23日日曜日

1020: ベクトルたちスペース（空間）のサブベクトルたちスペース（空間）によるクウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
ベクトルたちスペース（空間）のサブベクトルたちスペース（空間）によるクウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間）の定義

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のサブベクトルたちスペース（空間）によるクウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V′: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V: ∈{V′ の全てのサブベクトルたちスペース（空間）たち }
∼: ∈{V′ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }で、以下を満たすもの、つまり、∀v1′,v2′∈V′(v1′∼v2′⟺v1′−v2′∈V)
∗V′/V: =V′/∼, ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }で、下に指定されるオペレーションたちを持つもの
//

コンディションたち:
∀r∈F,∀[v1],[v2]∈V′/V(r[v1]=[rv1]∧[v1]+[v2]=[v1+v2])
//

2: 注


V′/Vは本当にウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。

∼は本当にV′上のイクイバレンスリレーション（同値関係）であることを見よう。

各v′∈V′に対して、v′∼v′、なぜなら、v′−v′=0∈V。

各v1′,v2′∈V′に対して、v1′∼v2′はv2′∼v1′を含意する、なぜなら、v1′−v2′∈Vであるから、v2′−v1′=−(v1′−v2′)∈V。

各v1′,v2′,v3′∈V′に対して、v1′∼v2′かつv2′∼v3′はv1′∼v3′を含意する、なぜなら、v1′−v2′∈Vおよびv2′−v3′∈Vであるから、v1′−v3′=v1′−v2′+v2′−v3′=(v1′−v2′)+(v2′−v3′)∈V。

したがって、V′/∼はセット（集合）としてウェルデファインド（妥当に定義された）である。

当該オペレーションたちはウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。

r[v1]=[rv1]に対して、[rv1]は代表v1の選択に依存しない、なぜなら、[v1]=[w1]として、w1−v1:=v∈V、および[rw1]=[r(v1+v)]=[rv1+rv]、しかし、rv1+rv−rv1=rv∈V、したがって、[rw1]=[rv1]。

[v1]+[v2]=[v1+v2]に対して、[v1+v2]は代表たちv1,v2に依存しない、なぜなら、[v1]=[w1]および[v2]=[w2]として、w1−v1,w2−v2∈Vであるから、w1+w2−(v1+v2)=(w1−v1)+(w2−v2)∈V、したがって、[w1+w2]=[v1+v2]。

V′/Vは本当にFベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。

1) 任意の要素たち[v1],[v2]∈V′/Vに対して、[v1]+[v2]∈V′/V（アディション（加法）の下で閉じていること）: [v1]+[v2]=[v1+v2]∈V′/V。

2) 任意の要素たち[v1],[v2]∈V′/Vに対して、[v1]+[v2]=[v2]+[v1]（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性）: [v1]+[v2]=[v1+v2]=[v2+v1]=[v2]+[v1]。

3) 任意の要素たち[v1],[v2],[v3]∈V′/Vに対して、([v1]+[v2])+[v3]=[v1]+([v2]+[v3])（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: ([v1]+[v2])+[v3]=[v1+v2]+[v3]=[v1+v2+v3]=[v1]+[v2+v3]=[v1]+([v2]+[v3])。

4) 以下を満たすある0要素[0]∈V′/V、つまり、任意の[v]∈V′/Vに対して、[v]+[0]=[v]、がある（0ベクトルの存在）: [0]∈V′/V、および、[v]+[0]=[v+0]=[v]。

5) 任意の要素[v]∈V′/Vに対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素[v′]∈V′/V、つまり、[v′]+[v]=[0]、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）: [v′]:=[−v]∈V′/V、および、[v′]+[v]=[−v]+[v]=[−v+v]=[0]。

6) 任意の要素[v]∈V′/Vおよび任意のスカラーr∈Fに対して、r.[v]∈V′/V（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: r.[v]=[rv]∈V′/V。

7) 任意の要素[v]∈V′/V、任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1+r2).[v]=r1.[v]+r2.[v]（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: (r1+r2).[v]=[(r1+r2)v]=[r1v+r2v]=[r1v]+[r2v]=r1.[v]+r2.[v]。

8) 任意の要素たち[v1],[v2]∈V′/Vおよび任意のスカラーr∈Fに対して、r.([v1]+[v2])=r.[v1]+r.[v2]（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: r.([v1]+[v2])=r.[v1+v2]=[r(v1+v2)]=[rv1+rv2]=[rv1]+[rv2]=r.[v1]+r.[v2]。

9) 任意の要素[v]∈V′/V、任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1r2).[v]=r1.(r2.[v])（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: (r1r2).[v]=[(r1r2)v]=[r1(r2v)]=r1.(r2.[v])。

10) 任意の要素[v]∈V′/Vに対して、1.[v]=[v]（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ））: 1.[v]=[1v]=[v]。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: