ベクトルたちスペース（空間）のサブベクトルたちスペース（空間）によるクウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のサブベクトルたちスペース（空間）によるクウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{V' \text{ の全てのサブベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( \sim\): \(\in \{V' \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\forall v'_1, v'_2 \in V' (v'_1 \sim v'_2 \iff v'_1 - v'_2 \in V)\)
\(*V' / V\): \(= V' / \sim\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、下に指定されるオペレーションたちを持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall r \in F, \forall [v_1], [v_2] \in V' / V (r [v_1] = [r v_1] \land [v_1] + [v_2] = [v_1 + v_2])\)
//
2: 注
\(V' / V\)は本当にウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(\sim\)は本当に\(V'\)上のイクイバレンスリレーション（同値関係）であることを見よう。
各\(v' \in V'\)に対して、\(v' \sim v'\)、なぜなら、\(v' - v' = 0 \in V\)。
各\(v'_1, v'_2 \in V'\)に対して、\(v'_1 \sim v'_2\)は\(v'_2 \sim v'_1\)を含意する、なぜなら、\(v'_1 - v'_2 \in V\)であるから、\(v'_2 - v'_1 = - (v'_1 - v'_2) \in V\)。
各\(v'_1, v'_2, v'_3 \in V'\)に対して、\(v'_1 \sim v'_2\)かつ\(v'_2 \sim v'_3\)は\(v'_1 \sim v'_3\)を含意する、なぜなら、\(v'_1 - v'_2 \in V\)および\(v'_2 - v'_3 \in V\)であるから、\(v'_1 - v'_3 = v'_1 - v'_2 + v'_2 - v'_3 = (v'_1 - v'_2) + (v'_2 - v'_3) \in V\)。
したがって、\(V' / \sim\)はセット（集合）としてウェルデファインド（妥当に定義された）である。
当該オペレーションたちはウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(r [v_1] = [r v_1]\)に対して、\([r v_1]\)は代表\(v_1\)の選択に依存しない、なぜなら、\([v_1] = [w_1]\)として、\(w_1 - v_1 := v \in V\)、および\([r w_1] = [r (v_1 + v)] = [r v_1 + r v]\)、しかし、\(r v_1 + r v - r v_1 = r v \in V\)、したがって、\([r w_1] = [r v_1]\)。
\([v_1] + [v_2] = [v_1 + v_2]\)に対して、\([v_1 + v_2]\)は代表たち\(v_1, v_2\)に依存しない、なぜなら、\([v_1] = [w_1]\)および\([v_2] = [w_2]\)として、\(w_1 - v_1, w_2 - v_2 \in V\)であるから、\(w_1 + w_2 - (v_1 + v_2) = (w_1 - v_1) + (w_2 - v_2) \in V\)、したがって、\([w_1 + w_2] = [v_1 + v_2]\)。
\(V' / V\)は本当に\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
1) 任意の要素たち\([v_1], [v_2] \in V' / V\)に対して、\([v_1] + [v_2] \in V' / V\)（アディション（加法）の下で閉じていること）: \([v_1] + [v_2] = [v_1 + v_2] \in V' / V\)。
2) 任意の要素たち\([v_1], [v_2] \in V' / V\)に対して、\([v_1] + [v_2] = [v_2] + [v_1]\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性）: \([v_1] + [v_2] = [v_1 + v_2] = [v_2 + v_1] = [v_2] + [v_1]\)。
3) 任意の要素たち\([v_1], [v_2], [v_3] \in V' / V\)に対して、\(([v_1] + [v_2]) + [v_3] = [v_1] + ([v_2] + [v_3])\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(([v_1] + [v_2]) + [v_3] = [v_1 + v_2] + [v_3] = [v_1 + v_2 + v_3] = [v_1] + [v_2 + v_3] = [v_1] + ([v_2] + [v_3])\)。
4) 以下を満たすある0要素\([0] \in V' / V\)、つまり、任意の\([v] \in V' / V\)に対して、\([v] + [0] = [v]\)、がある（0ベクトルの存在）: \([0] \in V' / V\)、および、\([v] + [0] = [v + 0] = [v]\)。
5) 任意の要素\([v] \in V' / V\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\([v'] \in V' / V\)、つまり、\([v'] + [v] = [0]\)、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）: \([v'] := [- v] \in V' / V\)、および、\([v'] + [v] = [- v] + [v] = [-v + v] = [0]\)。
6) 任意の要素\([v] \in V' / V\)および任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . [v] \in V' / V\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: \(r . [v] = [r v] \in V' / V\)。
7) 任意の要素\([v] \in V' / V\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 + r_2) . [v] = r_1 . [v] + r_2 . [v]\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \((r_1 + r_2) . [v] = [(r_1 + r_2) v] = [r_1 v + r_2 v] = [r_1 v] + [r_2 v] = r_1 . [v] + r_2 . [v]\)。
8) 任意の要素たち\([v_1], [v_2] \in V' / V\)および任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . ([v_1] + [v_2]) = r . [v_1] + r . [v_2]\)（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \(r . ([v_1] + [v_2]) = r . [v_1 + v_2] = [r (v_1 + v_2)] = [r v_1 + r v_2] = [r v_1] + [r v_2] = r . [v_1] + r . [v_2]\)。
9) 任意の要素\([v] \in V' / V\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 r_2) . [v] = r_1 . (r_2 . [v])\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \((r_1 r_2) . [v] = [(r_1 r_2) v] = [r_1 (r_2 v)] = r_1 . (r_2 . [v])\)。
10) 任意の要素\([v] \in V' / V\)に対して、\(1 . [v] = [v]\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ））: \(1 . [v] = [1 v] = [v]\)。
