\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）、任意のファイナイト（有限）数ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）当該フィールド（体）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）または任意のフィールド（体）上方の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、任意のスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちまたはコンポーネントたちのトランジション（遷移）はスクウェアマトリックス（正方行列）である、そして、当該インバース（逆）マトリックス（行列）は当該インバース（逆）たちのプロダクト（積）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関する任意のテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
\(p\): \(\in \mathbb{N}\)
\(q\): \(\in \mathbb{N}\)
\(T^p_q (T_mM)\): \(= m \text{ における当該 } (p, q) \text{ -テンソルたちスペース（空間） }\)
\((U_m \subseteq M, \phi_m)\): \(\in \{M \text{ に対する } m \text{ の周りの全てのチャートたち }\}\)
\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\): \(\in \{M \text{ に対する } m \text{ の周りの全てのチャートたち }\}\)
\(B\): \(= T^p_q (T_mM) \text{ に対する }\)\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）、\(= \{[((\partial / \partial x^{j_1}, ..., \partial / \partial x^{j_p}, d x^{l_1}, ..., d x^{l_q}))]\}\)
\(B'\): \(= T^p_q (T_mM) \text{ に対する }\)\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\)に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）、\(= \{[((\partial / \partial x'^{j_1}, ..., \partial / \partial x'^{j_p}, d x'^{l_1}, ..., d x'^{l_q}))]\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall t = t^{m_1, ..., m_p}_{n_1, ..., n_q} [((\partial / \partial x^{m_1}, ..., \partial / \partial x^{m_p}, d x^{n_1}, ..., d x^{n_q}))] = t'^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} [((\partial / \partial x'^{j_1}, ..., \partial / \partial x'^{j_p}, d x'^{l_1}, ..., d x'^{l_q}))]\)
(
\(t'^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} = \partial x'^{j_1} / \partial x^{m_1} ... \partial x'^{j_p} / \partial x^{m_p} \partial x^{n_1} / \partial x'^{l_1} ... \partial x^{n_q} / \partial x'^{l_q} t^{m_1, ..., m_p}_{n_1, ..., n_q}\)
)
//
\(x'\)のファンクション（関数）としての\(x\)は\(\phi_m \circ {\phi'_m}^{-1} \vert_{\phi'_m (U_m \cap U'_m)}: \phi'_m (U_m \cap U'_m) \to \phi_m (U_m \cap U'_m)\); \(x\)のファンクション（関数）としての\(x'\)は\(\phi'_m \circ {\phi_m}^{-1} \vert_{\phi_m (U_m \cap U'_m)}: \phi_m (U_m \cap U'_m) \to \phi'_m (U_m \cap U'_m)\)。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題、任意のフィールド（体）、任意のファイナイト（有限）数ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）当該フィールド（体）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）または任意のフィールド（体）上方の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、任意のスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちまたはコンポーネントたちのトランジション（遷移）はスクウェアマトリックス（正方行列）である、そして、当該インバース（逆）マトリックス（行列）は当該インバース（逆）たちのプロダクト（積）であるという命題、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する。
ステップ1:
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、\([((\partial / \partial x'^{j_1}, ..., \partial / \partial x'^{j_p}, d x'^{l_1}, ..., d x'^{l_q}))] = \partial x^{m_1} / \partial x'^{j_1} ... \partial x^{m_p} / \partial x'^{j_p} \partial x'^{l_1} / \partial x^{n_1} ... \partial x'^{l_q} / \partial x^{n_q} [((\partial / \partial x^{m_1}, ..., \partial / \partial x^{m_p}, d x^{n_1}, ..., d x^{n_q}))]\)。
任意のフィールド（体）、任意のファイナイト（有限）数ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）当該フィールド（体）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）または任意のフィールド（体）上方の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、任意のスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちまたはコンポーネントたちのトランジション（遷移）はスクウェアマトリックス（正方行列）である、そして、当該インバース（逆）マトリックス（行列）は当該インバース（逆）たちのプロダクト（積）であるという命題によって、それは、あるスクウェアマトリックス（正方行列）によるトランジション（遷移）であり、当該インバースマトリックス（逆行列）は\(\partial x'^{j_1} / \partial x^{m_1} ... \partial x'^{j_p} / \partial x^{m_p} \partial x^{n_1} / \partial x'^{l_1} ... \partial x^{n_q} / \partial x'^{l_q}\)である。
任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、\(t'^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} = \partial x'^{j_1} / \partial x^{m_1} ... \partial x'^{j_p} / \partial x^{m_p} \partial x^{n_1} / \partial x'^{l_1} ... \partial x^{n_q} / \partial x'^{l_q} t^{m_1, ..., m_p}_{n_1, ..., n_q}\)。
