1038: $C^\infty$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける$(p, q)$-テンソルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれである|T.B.P.日本語版

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C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける

(p, q)

-テンソルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける $(p, q)$ -テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関する任意のテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

M

\in {全ての d -ディメンショナル（次元） C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

m

\in M

p

\in N

q

\in N

T_{q}^{p} (T_{m} M)

= m における当該 (p, q) -テンソルたちスペース（空間）

(U_{m} \subseteq M, ϕ_{m})

\in {M に対する m の周りの全てのチャートたち}

(U_{m}^{'} \subseteq M, ϕ_{m}^{'})

\in {M に対する m の周りの全てのチャートたち}

B

= T_{q}^{p} (T_{m} M) に対する

(U_{m} \subseteq M, ϕ_{m})

に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）、

= {[((\partial / \partial x^{j_{1}}, . . ., \partial / \partial x^{j_{p}}, d x^{l_{1}}, . . ., d x^{l_{q}}))]}

B^{'}

= T_{q}^{p} (T_{m} M) に対する

(U_{m}^{'} \subseteq M, ϕ_{m}^{'})

に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）、

= {[((\partial / \partial x^{' j_{1}}, . . ., \partial / \partial x^{' j_{p}}, d x^{' l_{1}}, . . ., d x^{' l_{q}}))]}

//

ステートメント（言明）たち:

\forall t = t_{n_{1}, . . ., n_{q}}^{m_{1}, . . ., m_{p}} [((\partial / \partial x^{m_{1}}, . . ., \partial / \partial x^{m_{p}}, d x^{n_{1}}, . . ., d x^{n_{q}}))] = t_{l_{1}, . . ., l_{q}}^{' j_{1}, . . ., j_{p}} [((\partial / \partial x^{' j_{1}}, . . ., \partial / \partial x^{' j_{p}}, d x^{' l_{1}}, . . ., d x^{' l_{q}}))]

(

t_{l_{1}, . . ., l_{q}}^{' j_{1}, . . ., j_{p}} = \partial x^{' j_{1}} / \partial x^{m_{1}} . . . \partial x^{' j_{p}} / \partial x^{m_{p}} \partial x^{n_{1}} / \partial x^{' l_{1}} . . . \partial x^{n_{q}} / \partial x^{' l_{q}} t_{n_{1}, . . ., n_{q}}^{m_{1}, . . ., m_{p}}

)
//

x^{'}

のファンクション（関数）としての

x

は

ϕ_{m} \circ {ϕ_{m}^{'}}^{- 1} |_{ϕ_{m}^{'} (U_{m} \cap U_{m}^{'})} : ϕ_{m}^{'} (U_{m} \cap U_{m}^{'}) \to ϕ_{m} (U_{m} \cap U_{m}^{'})

;

x

のファンクション（関数）としての

x^{'}

は

ϕ_{m}^{'} \circ {ϕ_{m}}^{- 1} |_{ϕ_{m} (U_{m} \cap U_{m}^{'})} : ϕ_{m} (U_{m} \cap U_{m}^{'}) \to ϕ_{m}^{'} (U_{m} \cap U_{m}^{'})

。

2: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける

(p, q)

-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題、任意のフィールド（体）、任意のファイナイト（有限）数ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）当該フィールド（体）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）または任意のフィールド（体）上方の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、任意のスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちまたはコンポーネントたちのトランジション（遷移）はスクウェアマトリックス（正方行列）である、そして、当該インバース（逆）マトリックス（行列）は当該インバース（逆）たちのプロダクト（積）であるという命題、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する。

ステップ1:

任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける

(p, q)

-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、

[((\partial / \partial x^{' j_{1}}, . . ., \partial / \partial x^{' j_{p}}, d x^{' l_{1}}, . . ., d x^{' l_{q}}))] = \partial x^{m_{1}} / \partial x^{' j_{1}} . . . \partial x^{m_{p}} / \partial x^{' j_{p}} \partial x^{' l_{1}} / \partial x^{n_{1}} . . . \partial x^{' l_{q}} / \partial x^{n_{q}} [((\partial / \partial x^{m_{1}}, . . ., \partial / \partial x^{m_{p}}, d x^{n_{1}}, . . ., d x^{n_{q}}))]

。

任意のフィールド（体）、任意のファイナイト（有限）数ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）当該フィールド（体）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）または任意のフィールド（体）上方の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、任意のスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちまたはコンポーネントたちのトランジション（遷移）はスクウェアマトリックス（正方行列）である、そして、当該インバース（逆）マトリックス（行列）は当該インバース（逆）たちのプロダクト（積）であるという命題によって、それは、あるスクウェアマトリックス（正方行列）によるトランジション（遷移）であり、当該インバースマトリックス（逆行列）は

\partial x^{' j_{1}} / \partial x^{m_{1}} . . . \partial x^{' j_{p}} / \partial x^{m_{p}} \partial x^{n_{1}} / \partial x^{' l_{1}} . . . \partial x^{n_{q}} / \partial x^{' l_{q}}

である。

任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、

t_{l_{1}, . . ., l_{q}}^{' j_{1}, . . ., j_{p}} = \partial x^{' j_{1}} / \partial x^{m_{1}} . . . \partial x^{' j_{p}} / \partial x^{m_{p}} \partial x^{n_{1}} / \partial x^{' l_{1}} . . . \partial x^{n_{q}} / \partial x^{' l_{q}} t_{n_{1}, . . ., n_{q}}^{m_{1}, . . ., m_{p}}

。

参考資料