1040: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、タンジェント（接）ベクトルの、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれである

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、タンジェント（接）ベクトルの、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、タンジェント（接）ベクトルの定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のタンジェント（接）ベクトルの、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$m$: $\in M$
$(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$: $\in \{M\text{ に対する }m\text{ の周りの全てのチャートたち }\}$
$(U_m^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_m^{\prime })$: $\in \{M\text{ に対する }m\text{ の周りの全てのチャートたち }\}$
$\{\partial /\partial x^j|j\in \{1,...,d\}\}$: $(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$による、$=T_{m}M\text{ に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底） }$
$\{\partial /\partial x^{\prime j}|j\in \{1,...,d\}\}$: $(U_m^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_m^{\prime })$による、$=T_{m}M\text{ に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }v=v^j\partial /\partial x^j=v^{\prime j}\partial /\partial x^{\prime j}\in T_{m}M(v^{\prime j}=\partial x^{\prime j}/\partial x^l{v}^l)$
//

$x$のファンクション（関数）としての$x^{\prime }$は${\varphi }_m^{\prime }\circ {{\varphi }_m}^{-1}{|}_{{\varphi }_m(U_m\cap U_m^{\prime })}:{\varphi }_m(U_m\cap U_m^{\prime })\to {\varphi }_m^{\prime }(U_m\cap U_m^{\prime })$。

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $\partial /\partial x^{\prime j}=\partial x^l/\partial x^{\prime j}\partial /\partial x^l$であることを見る; ステップ2: 任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する。

ステップ1:

$\partial /\partial x^{\prime j}=\partial x^l/\partial x^{\prime j}\partial /\partial x^l$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。

ステップ2:

任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、$v^{\prime j}=\partial x^{\prime j}/\partial x^l{v}^l$、なぜなら、マトリックス（行列）$\left(\begin{array}{c}\partial x^l/\partial x^{\prime j}\end{array}\right)$のインバース（逆）は$\left(\begin{array}{c}\partial x^{\prime m}/\partial x^n\end{array}\right)$、なぜなら、$\partial x^{\prime m}/\partial x^l{x}^l/\partial x^{\prime j}=\partial x^{\prime m}/\partial x^{\prime j}={\delta }_j^m$。

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参考資料

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