\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、タンジェント（接）ベクトルの、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のタンジェント（接）ベクトルの、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
\((U_m \subseteq M, \phi_m)\): \(\in \{M \text{ に対する } m \text{ の周りの全てのチャートたち }\}\)
\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\): \(\in \{M \text{ に対する } m \text{ の周りの全てのチャートたち }\}\)
\(\{\partial / \partial x^j \vert j \in \{1, ..., d\}\}\): \((U_m \subseteq M, \phi_m)\)による、\(= T_mM \text{ に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底） }\)
\(\{\partial / \partial x'^j \vert j \in \{1, ..., d\}\}\): \((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\)による、\(= T_mM \text{ に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall v = v^j \partial / \partial x^j = v'^j \partial / \partial x'^j \in T_mM (v'^j = \partial x'^j / \partial x^l v^l)\)
//
\(x\)のファンクション（関数）としての\(x'\)は\(\phi'_m \circ {\phi_m}^{-1} \vert_{\phi_m (U_m \cap U'_m)}: \phi_m (U_m \cap U'_m) \to \phi'_m (U_m \cap U'_m)\)。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\partial / \partial x'^j = \partial x^l / \partial x'^j \partial / \partial x^l\)であることを見る; ステップ2: 任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する。
ステップ1:
\(\partial / \partial x'^j = \partial x^l / \partial x'^j \partial / \partial x^l\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
ステップ2:
任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、\(v'^j = \partial x'^j / \partial x^l v^l\)、なぜなら、マトリックス（行列）\(\begin{pmatrix} \partial x^l / \partial x'^j \end{pmatrix}\)のインバース（逆）は\(\begin{pmatrix} \partial x'^m / \partial x^n \end{pmatrix}\)、なぜなら、\(\partial x'^m / \partial x^l x^l / \partial x'^j = \partial x'^m / \partial x'^j = \delta^m_j\)。
