\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( m\): \(\in M\)
\( T_mM\): \(= m \text{ における当該タンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間） }\)
\( T_mM^*\): \(= T_mM \text{ のコベクトルたちスペース（空間） } \)
\( p\): \(\in \mathbb{N}\)
\( q\): \(\in \mathbb{N}\)
\(*T^p_q (T_mM)\): \(= T_mM \otimes ... \otimes T_mM \otimes T_mM^* \otimes ... \otimes T_mM^*\)、ここで、\(p \neq 0\)または\(q \neq 0\)の時、\(T_mM\)は\(p\)回現れ、\(T_mM^*\)は\(q\)回現れる; \(p = q = 0\)の時、\(= \mathbb{R}\)、\(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(T_mM\)は\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）である、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義に対する"注"内に示されているとおり、\(T_mM^*\)は\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）である、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義に対する"注"内に示されているとおり、そして、\(T^p_q (T_mM)\)は本当に\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）である、フィールド（体）上方の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義に対する"注"内に示されているとおり。
\(T^p_q (T_mM)\)はカノニカル（正典）に\(L (T_mM^*, ..., T_mM^*, T_mM, ..., T_mM: \mathbb{R})\)へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるテンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）および\(p\)個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよび\(q\)個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義に対する"注"によって、そして、とても頻繁に、当該2スペース（空間）たちは暗黙に当該アイソモーフィズム（同形写像）によって同一視される、それが、\(T^p_q (T_mM)\)が"テンソルたちスペース（空間）"と呼ばれる理由である。
\(T^1_0 (T_mM)\)はタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）である。
\(T^0_1 (T_mM)\)は"コタンジェントベクトルたちスペース（空間）"と呼ばれる。
