1034: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける(p,q)-テンソルたちスペース（空間）

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける$(p,q)$-テンソルたちスペース（空間）の定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、フィールド（体）上方の$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける$(p,q)$-テンソルたちスペース（空間）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$m$: $\in M$
$T_{m}M$: $=m\text{ における当該タンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間） }$
$T_m{M}^{\ast }$: $=T_{m}M\text{ のコベクトルたちスペース（空間） }$
$p$: $\in \mathbb{N}$
$q$: $\in \mathbb{N}$
$\ast T_q^p(T_{m}M)$: $=T_{m}M\otimes ...\otimes T_{m}M\otimes T_m{M}^{\ast }\otimes ...\otimes T_m{M}^{\ast }$、ここで、$p\ne 0$または$q\ne 0$の時、$T_{m}M$は$p$回現れ、$T_m{M}^{\ast }$は$q$回現れる; $p=q=0$の時、$=\mathbb{R}$、$\in \{\text{ 全ての }\mathbb{R}\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
//

コンディションたち:
//

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2: 注

$T_{m}M$は$\mathbb{R}$ベクトルたちスペース（空間）である、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義に対する"注"内に示されているとおり、$T_m{M}^{\ast }$は$\mathbb{R}$ベクトルたちスペース（空間）である、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義に対する"注"内に示されているとおり、そして、$T_q^p(T_{m}M)$は本当に$\mathbb{R}$ベクトルたちスペース（空間）である、フィールド（体）上方の$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義に対する"注"内に示されているとおり。

$T_q^p(T_{m}M)$はカノニカル（正典）に$L(T_m{M}^{\ast },...,T_m{M}^{\ast },T_{m}M,...,T_{m}M:\mathbb{R})$へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるテンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）および$p$個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよび$q$個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義に対する"注"によって、そして、とても頻繁に、当該2スペース（空間）たちは暗黙に当該アイソモーフィズム（同形写像）によって同一視される、それが、$T_q^p(T_{m}M)$が"テンソルたちスペース（空間）"と呼ばれる理由である。

$T_0^1(T_{m}M)$はタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）である。

$T_1^0(T_{m}M)$は"コタンジェントベクトルたちスペース（空間）"と呼ばれる。

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参考資料

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