ノルムたちによってインデュースト（誘導された）ベクトルたちメトリックスペース（計量付き空間）たち間のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、それがバウンデッド（有界）である場合、その場合に限って、ということの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）間のバウンデッド（有界）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノルムたちによってインデュースト（誘導された）任意のベクトルたちメトリックスペース（計量付き空間）たち間の任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、それがバウンデッド（有界）である場合、その場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert_1\)によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つもの
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert_2\)によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つもの
\(*f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(f \in \{\text{ 全てのバウンデッド（有界）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はバウンデッド（有界）であると仮定する; ステップ2: 各\(v_1 \in V_1\)に対して、\(f (v_1)\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_{f (v_1)} \subseteq V_2\)を取り、\(f (v_1)\)の周りの以下を満たす任意のオープンボール（開球）\(B_{f (v_1), \epsilon} \subseteq V_2\)、つまり、\(B_{f (v_1), \epsilon} \subseteq N_{f (v_1)}\)、を取り、\(v_1\)の周りのオープンボール（開球）\(B_{v_1, \epsilon / c} \subseteq V_1\)、ここで、\(c\)はバウンデッド（有界）であることに対する任意のコンスタント（定数）、を取り、\(f (B_{v_1, \epsilon / c}) \subseteq B_{f (v_1), \epsilon}\)であることを見る; ステップ3: \(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定する; ステップ4: \(0 \in V_2\)の周りのオープンボール（開球）\(B_{0, 1} \subseteq V_2\)を取り、\(0 \in V_1\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{0, \delta} \subseteq V_1\)、つまり、\(f (B_{0, \delta}) \subseteq B_{0, 1}\)、を取る; ステップ5: 以下を満たす各\(v_1 \in V_1\)、つまり、\(v_1 \neq 0\)、に対して、\(\Vert f (v_1) \Vert\)を評価する、\(v_1 = (\delta / 2) / (\delta / 2) \vert v_1 \vert / \vert v_1 \vert v_1\)を使って。
ステップ1:
\(f\)はバウンデッド（有界）であると仮定しよう。
ステップ2:
\(v_1 \in V_1\)を任意のものとしよう。
\(N_{f (v_1)} \subseteq V_2\)を\(f (v_1)\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(f (v_1)\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{f (v_1), \epsilon} \subseteq V_2\)、つまり、\(B_{f (v_1), \epsilon} \subseteq N_{f (v_1)}\)、がある。
\(f\)はバウンデッド（有界）であるから、以下を満たすあるコンスタント（定数）\(c \in \mathbb{R}\)、つまり、各\(v'_1 \in V_1\)に対して、\(\Vert f (v'_1) \Vert \le c \Vert v'_1 \Vert\)、がある。
\(v_1\)の周りのオープンボール（開球）\(B_{v_1, \epsilon / c} \subseteq V_1\)を取ろう。
各\(v'_1 \in B_{v_1, \epsilon / c}\)に対して、\(f (v'_1) = f (v'_1 - v_1 + v_1) = f (v'_1 - v_1) + f (v_1)\)、したがって、\(f (v'_1) - f (v_1) = f (v'_1 - v_1)\)。
\(\Vert f (v'_1) - f (v_1) \Vert = \Vert f (v'_1 - v_1)\Vert \le c \Vert v'_1 - v_1 \Vert \lt c \epsilon / c = \epsilon\)。
それが意味するのは、\(f (B_{v_1, \epsilon / c}) \subseteq B_{f (v_1), \epsilon} \subseteq N_{f (v_1)}\)。
それが意味するのは、\(f\)は\(v_1\)においてコンティニュアス（連続）であるということ。
\(v_1 \in V_1\)は恣意的であるから、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
ステップ3:
\(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(f\)はリニア（線形）であるから、\(f (0) = 0\)。
\(f (0) = 0 \in V_2\)の周りのオープンボール（開球）\(B_{0, 1} \subseteq V_2\)を取ろう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(0 \in V_1\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{0, \delta} \subseteq V_1\)、つまり、\(f (B_{0, \delta}) \subseteq B_{0, 1}\)、がある。
ステップ5:
以下を満たす各\(v_1 \in V_1\)、つまり、\(v_1 \neq 0\)、に対して、\(\Vert f (v_1) \Vert = \Vert f ((\delta / 2) / (\delta / 2) \Vert v_1 \Vert / \Vert v_1 \Vert v_1) \Vert = \Vert \Vert v_1 \Vert / (\delta / 2) f ((\delta / 2) / \Vert v_1 \Vert v_1) \Vert = \Vert v_1 \Vert / (\delta / 2) \Vert f ((\delta / 2) / \Vert v_1 \Vert v_1) \Vert\)、しかし、\((\delta / 2) / \Vert v_1 \Vert v_1 \in B_{0, \delta}\)、したがって、\(f ((\delta / 2) / \Vert v_1 \Vert v_1) \in B_{0, 1}\)および\(\Vert f (v_1) \Vert \lt \Vert v_1 \Vert / (\delta / 2) 1 \le 1 / (\delta / 2) \Vert v_1 \Vert\)。
したがって、\(c := 1 / (\delta / 2)\)、それは\(v_1\)に依存しない、によって、\(\Vert f (v_1) \Vert \le c \Vert v_1 \Vert\)となる。
したがって、\(f\)はバウンデッド（有界）である。
