ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）、スーパースペース（空間）上のベクトルに対して、サブスペース（部分空間）上のベクトルでベクトルへの距離が最小であるユニークなものがあることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、任意のサブスペース（部分空間）、当該スーパースペース（空間）上の任意のベクトルに対して、もしも、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルへの距離が最小なものがある場合、それは、ユニークであり当該ベクトルたちの差は当該サブスペース（部分空間）へ垂直である、そして、もしも、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルたちの差が当該サブスペース（部分空間）へ垂直なものがある場合、それは、ユニークであり距離は最小であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）、当該スーパースペース（空間）上の任意のベクトルに対して、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルへの距離が最小であるユニークなものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）なフィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち } \}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle: V' \times V' \to F\)および\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの
\(V\): \(\in \{V' \text{ 全ての } n \text{ -ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(v'\): \(\in V'\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(! \exists v_0 \in V (\forall v \in V (\Vert v' - v_0 \Vert \le \Vert v' - v \Vert))\)
//
2: 注
任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、任意のサブスペース（部分空間）、当該スーパースペース（空間）上の任意のベクトルに対して、もしも、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルへの距離が最小なものがある場合、それは、ユニークであり当該ベクトルたちの差は当該サブスペース（部分空間）へ垂直である、そして、もしも、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルたちの差が当該サブスペース（部分空間）へ垂直なものがある場合、それは、ユニークであり距離は最小であるという命題によって、\(\forall v \in V (\langle v' - v_0, v \rangle = 0)\)、そして、\(v_0\)はそういうユニークなものである。
任意のヒルベルトスペース（空間）、任意の非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、当該ヒルベルトスペース（空間）上の任意のポイントに対して、当該サブセット（部分集合）上のユニークなポイントで当該ポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあるという命題と比較のこと。
\(V'\)はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要はない。
3: 証明
全体戦略: 以下を満たすある\(v_0 \in V\)、つまり、\(\forall v \in V (\langle v' - v_0, v \rangle = 0)\)、を見つけて、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、任意のサブスペース（部分空間）、当該スーパースペース（空間）上の任意のベクトルに対して、もしも、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルへの距離が最小なものがある場合、それは、ユニークであり当該ベクトルたちの差は当該サブスペース（部分空間）へ垂直である、そして、もしも、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルたちの差が当該サブスペース（部分空間）へ垂直なものがある場合、それは、ユニークであり距離は最小であるという命題を適用する; ステップ1: \(V\)の任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_n\}\)を取る; ステップ2: \(v_0 := \sum_{j \in \{1, ..., n\}} \langle v', b_j \rangle b_j\)を定義する; ステップ3: \(\forall v \in V (\langle v' - v_0, v \rangle = 0)\)が成立することを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(V\)の任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_n\}\)を取ろう、それは可能である、グラム - シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）によって: 任意のベーシス（基底）\(B' = \{b'_1, ..., b'_n\}\)に対して、\(b_1 := 1 / \sqrt{\langle b'_1, b'_1 \rangle} b'_1\); \(b_2 := 1 / \sqrt{\langle b'_2 - \langle b'_2, b_1 \rangle b_1, b'_2 - \langle b'_2, b_1 \rangle b_1 \rangle} (b'_2 - \langle b'_2, b_1 \rangle b_1)\); \(b_3 = 1 / \sqrt{\langle b'_3 - \langle b'_3, b_1 \rangle b_1 - \langle b'_3, b_2 \rangle b_2, b'_3 - \langle b'_3, b_1 \rangle b_1 - \langle b'_3, b_2 \rangle b_2 \rangle} (b'_3 - \langle b'_3, b_1 \rangle b_1 - \langle b'_3, b_2 \rangle b_2)\); ...。
ステップ2:
\(v_0 := \sum_{j \in \{1, ..., n\}} \langle v', b_j \rangle b_j\)を定義しよう。
確かに、\(v_0 \in V\)。
ステップ3:
\(\forall v \in V (\langle v' - v_0, v \rangle = 0)\)が成立することを見よう。
\(\langle v' - v_0, b_l \rangle = \langle v' - \sum_{j \in \{1, ..., n\}} \langle v', b_j \rangle b_j, b_l \rangle = \langle v', b_l \rangle - \sum_{j \in \{1, ..., n\}} \langle v', b_j \rangle \langle b_j, b_l \rangle = \langle v', b_l \rangle - \sum_{j \in \{1, ..., n\}} \langle v', b_j \rangle \delta_{j, l} = \langle v', b_l \rangle - \langle v', b_l \rangle = 0\)。
任意の\(v \in V\)は\(v^j b_j\)であるから、\(\langle v' - v_0, v \rangle = \langle v' - v_0, v^j b_j \rangle = \overline{v^j} \langle v' - v_0, b_j \rangle = 0\)。
ステップ4:
任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、任意のサブスペース（部分空間）、当該スーパースペース（空間）上の任意のベクトルに対して、もしも、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルへの距離が最小なものがある場合、それは、ユニークであり当該ベクトルたちの差は当該サブスペース（部分空間）へ垂直である、そして、もしも、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルたちの差が当該サブスペース（部分空間）へ垂直なものがある場合、それは、ユニークであり距離は最小であるという命題によって、\(v_0\)は本命題の要求を満たすユニークなものである。
