ヒルベルトスペース（空間）、非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、ヒルベルトスペース（空間）上のポイントに対して、サブセット（部分集合）上のユニークなポイントでポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ヒルベルトスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則を認めている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して、という命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットで当該ドメイン（定義域）上の任意のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、当該ネットのイメージ（像）は当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、当該コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、当該ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントのイメージ（像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のヒルベルトスペース（空間）、任意の非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、当該ヒルベルトスペース（空間）上の任意のポイントに対して、当該サブセット（部分集合）上のユニークなポイントで当該ポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(= \{\text{ 全ての } F \text{ ヒルベルトスペース（空間）たち }\}\)、\(\langle \bullet, \bullet \rangle: V \times V \to F\)、\(\Vert \bullet \Vert: V \to \mathbb{R}\)、\(dist: V \times V \to \mathbb{R}\)を持つもの
\(C\): \(\in \{V \text{ の全ての非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(w\): \(\in V\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(!\exists v_0 \in C (dist (w, v_0) = inf \{dist (w, v) \vert v \in C\})\)
//
2: 注
当該スペース（空間）がヒルベルトであることが肝要である。
例えば、当該スペース（空間）がユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）\(\mathbb{R}^2\)のメトリック（計量付き）トポロジカルサブセット（部分集合）でオープン（開）ユニット（単位）ディスクとポイント\((0, -2)\)のユニオン（和集合）である時、当該オープン（開）ユニット（単位）ディスクは非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）であり（\(\mathbb{R}^2\)上のクローズド（閉）ユニット（単位）ディスク と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合））、\((0, -2)\)からのディスタンス（距離）たちのインフィマム（下限）は\(1\)である、しかし、当該クローズド（閉）サブセット（部分集合）上のポイントで当該ポイントへのディスタンス（距離）が\(1\)であるものはない、実のところ、当該スペース（空間）上に当該ポイントへのディスタンス（距離）が\(1\)であるものはない。
当該クローズドサブセット（閉部分集合）がコンベックス（凸）であることも"証明"にとって肝要である: 少なくとも、明らかに、ユニーク性は一般に成立しない、もしも、当該クローズドサブセット（閉部分集合）がコンベックス（凸）でない場合。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 当該ディスタンス（距離）たちのインフィマム（下限）\(d\)が存在することを見る; ステップ2: \(C\)上のポイントたちの任意のシーケンス（列）で\(d\)へコンバージ（収束）するものを取る; ステップ3: 当該シーケンス（列）はコーシーシーケンス（列）であることを見る; ステップ4: 当該コンバージェンス（収束ポイント）は\(C\)上にあることを見る; ステップ5: 当該コンバージェンス（収束ポイント）の\(w\)へのディスタンス（距離）は\(d\)であることを見る; ステップ6: \(C\)上に\(w\)へのディスタンス（距離）が\(d\)である他のポイントはないことを見る。
ステップ1:
\(\{dist (w, v) \vert v \in C\}\)は\(\mathbb{R}\)のサブセット（部分集合）で\(0\)によって下にバウンデッド（有界）であるので、\(\{dist (w, v) \vert v \in C\}\)はインフィマム（下限）\(d \in \mathbb{R}\)を持つ: それは、\(\mathbb{R}\)の性質である。
ステップ2:
\(C\)上のポイントたちの以下を満たす任意のシーケンス（列）\(v_1, v_2, ...\)、つまり、\(d \le dist (w, v_j) \lt d + 1 / 2^j\)、を取ろう、それは可能である、なぜなら、\(d = inf \{dist (w, v) \vert v \in C\}\): 重複があるかもしれないが、それは問題ではない。
\(dist (w, v_1), dist (w, v_2), ...\)は\(d\)へコンバージ（収束）する。
ステップ3:
当該ポイントたちシーケンス（列）はコーシーシーケンス（列）であることを見よう。
\(dist (v_m, v_n) = \Vert v_n - v_m \Vert = \Vert (v_n - w) - (v_m - w) \Vert\)。
ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則によって、\(\Vert (v_n - w) - (v_m - w) \Vert^2 = 2 (\Vert v_n - w \Vert^2 + \Vert v_m - w \Vert^2) - \Vert (v_n - w) + (v_m - w) \Vert^2 = 2 (\Vert v_n - w \Vert^2 + \Vert v_m - w \Vert^2) - \Vert v_n + v_m - 2 w \Vert^2 = 2 (\Vert v_n - w \Vert^2 + \Vert v_m - w \Vert^2) - 4 \Vert (v_n + v_m) / 2 - w \Vert^2\)。
任意の\(0 \lt \epsilon\)に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、各\(N \lt m, n\)に対して、\(\Vert v_m - w \Vert^2, \Vert v_n - w \Vert^2 \lt d^2 + \epsilon^2 / 4\)、がある。
\((v_n + v_m) / 2 \in C\)、なぜなら、\(C\)はコンベックス（凸）である、したがって、\(d \le \Vert (v_n + v_m) / 2 - w \Vert\)。
したがって、\(\Vert v_n - v_m \Vert^2 = 2 (\Vert v_n - w \Vert^2 + \Vert v_m - w \Vert^2) - 4 \Vert (v_n + v_m) / 2 - w \Vert^2 \lt 2 (2 (d^2 + \epsilon^2 / 4)) - 4 d^2 = \epsilon^2\)。
したがって、当該ポイントたちシーケンス（列）はコーシーシーケンス（列）である。
ステップ4:
\(V\)はコンプリート（完備）であるから、当該シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）\(v_0 \in V\)がある。
\(v_0\)は\(C\)のアキュームレーションポイント（集積ポイント）である、なぜなら、\(v_0\)の周りの各オープンボール（開球）に対して、ある\(v_j \in C\)で当該オープンボール（開球）内に包含されているものがある、なぜなら、当該シーケンス（列）は\(v_0\)へコンバージ（収束）する。
任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって、\(v_0\)は\(C\)のクロージャー（閉包）上にある、しかし、\(C\)のクロージャー（閉包）は\(C\)である、なぜなら、\(C\)はクローズド（閉）である。
したがって、\(v_0 \in C\)。
ステップ5:
ディスタンス（距離）マップ（写像）\(dist (w, v): V \to \mathbb{R}\)の\(w\)を固定したものはコンティニュアス（連続）マップ（写像）である、メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して、という命題および任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(dist (w, v_1), dist (w, v_2), ...\)は\(d\)へコンバージ（収束）するので、\(dist (w, v_0) = d\)、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットで当該ドメイン（定義域）上の任意のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、当該ネットのイメージ（像）は当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、当該コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、当該ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントのイメージ（像）であるという命題によって。
したがって、以下を満たす少なくとも1個の\(v_0 \in C\)、つまり、\(dist (w, v_0) = inf \{dist (w, v) \vert v \in C\}\)、がある。
ステップ6:
\(C\)上に\(w\)へのディスタンス（距離）が\(d\)であるポイントは他にないことを見よう。
以下を満たす別の\(v'_0 \in C\)、つまり、\(dist (w, v'_0) = d\)、があったと仮定しよう。
\(\Vert v_0 - v'_0 \Vert = \Vert (v_0 - w) - (v'_0 - w) \Vert\)。
ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則によって、\(\Vert (v_0 - w) - (v'_0 - w) \Vert^2 = 2 (\Vert v_0 - w \Vert^2 + \Vert v'_0 - w \Vert^2 ) - \Vert (v_0 - w) + (v'_0 - w) \Vert^2 = 2 (\Vert v_0 - w \Vert^2 + \Vert v'_0 - w \Vert^2 ) - \Vert (v_0 + v'_0) - 2 w \Vert^2 = 2 (\Vert v_0 - w \Vert^2 + \Vert v'_0 - w \Vert^2 ) - 4 \Vert (v_0 + v'_0) / 2 - w \Vert^2\)、しかし、\(\Vert v_0 - w \Vert = dist (w, v_0) = d\)、\(\Vert v'_0 - w \Vert = dist (w, v'_0) = d\)、そして、\((v_0 + v'_0) / 2 \in C\)であるから、\(d \le \Vert (v_0 + v'_0) / 2 - w \Vert\)、したがって、\(\le 2 (2 d^2) - 4 d^2 = 0\)、それが含意するのは、\(\Vert (v_0 - w) - (v'_0 - w) \Vert^2 = 0\)、それが含意するのは、\(v_0 = v'_0\)。
