1061: ヒルベルトスペース（空間）、非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、ヒルベルトスペース（空間）上のポイントに対して、サブセット（部分集合）上のユニークなポイントでポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがある

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ヒルベルトスペース（空間）、非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、ヒルベルトスペース（空間）上のポイントに対して、サブセット（部分集合）上のユニークなポイントでポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ヒルベルトスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則を認めている。
• 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して、という命題を認めている。
• 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットで当該ドメイン（定義域）上の任意のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、当該ネットのイメージ（像）は当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、当該コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、当該ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントのイメージ（像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のヒルベルトスペース（空間）、任意の非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、当該ヒルベルトスペース（空間）上の任意のポイントに対して、当該サブセット（部分集合）上のユニークなポイントで当該ポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
$V$: $=\{\text{ 全ての }F\text{ ヒルベルトスペース（空間）たち }\}$、$⟨\bullet ,\bullet ⟩:V\times V\to F$、$\Vert \bullet \Vert :V\to \mathbb{R}$、$dist:V\times V\to \mathbb{R}$を持つもの
$C$: $\in \{V\text{ の全ての非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）たち }\}$
$w$: $\in V$
//

ステートメント（言明）たち:
$!\mathrm{\exists }{v}_0\in C(dist(w,v_0)=inf\{dist(w,v)|v\in C\})$
//

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2: 注

当該スペース（空間）がヒルベルトであることが肝要である。

例えば、当該スペース（空間）がユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）${\mathbb{R}}^2$のメトリック（計量付き）トポロジカルサブセット（部分集合）でオープン（開）ユニット（単位）ディスクとポイント$(0,-2)$のユニオン（和集合）である時、当該オープン（開）ユニット（単位）ディスクは非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）であり（${\mathbb{R}}^2$上のクローズド（閉）ユニット（単位）ディスク と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合））、$(0,-2)$からのディスタンス（距離）たちのインフィマム（下限）は$1$である、しかし、当該クローズド（閉）サブセット（部分集合）上のポイントで当該ポイントへのディスタンス（距離）が$1$であるものはない、実のところ、当該スペース（空間）上に当該ポイントへのディスタンス（距離）が$1$であるものはない。

当該クローズドサブセット（閉部分集合）がコンベックス（凸）であることも"証明"にとって肝要である: 少なくとも、明らかに、ユニーク性は一般に成立しない、もしも、当該クローズドサブセット（閉部分集合）がコンベックス（凸）でない場合。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 当該ディスタンス（距離）たちのインフィマム（下限）$d$が存在することを見る; ステップ2: $C$上のポイントたちの任意のシーケンス（列）で$d$へコンバージ（収束）するものを取る; ステップ3: 当該シーケンス（列）はコーシーシーケンス（列）であることを見る; ステップ4: 当該コンバージェンス（収束ポイント）は$C$上にあることを見る; ステップ5: 当該コンバージェンス（収束ポイント）の$w$へのディスタンス（距離）は$d$であることを見る; ステップ6: $C$上に$w$へのディスタンス（距離）が$d$である他のポイントはないことを見る。

ステップ1:

$\{dist(w,v)|v\in C\}$は$\mathbb{R}$のサブセット（部分集合）で$0$によって下にバウンデッド（有界）であるので、$\{dist(w,v)|v\in C\}$はインフィマム（下限）$d\in \mathbb{R}$を持つ: それは、$\mathbb{R}$の性質である。

ステップ2:

$C$上のポイントたちの以下を満たす任意のシーケンス（列）$v_1,v_2,...$、つまり、$d\le dist(w,v_j)<d+1/2^j$、を取ろう、それは可能である、なぜなら、$d=inf\{dist(w,v)|v\in C\}$: 重複があるかもしれないが、それは問題ではない。

$dist(w,v_1),dist(w,v_2),...$は$d$へコンバージ（収束）する。

ステップ3:

当該ポイントたちシーケンス（列）はコーシーシーケンス（列）であることを見よう。

$dist(v_m,v_n)=\Vert v_n-v_m\Vert =\Vert (v_n-w)-(v_m-w)\Vert$。

ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則によって、$\Vert (v_n-w)-(v_m-w){\Vert }^2=2(\Vert v_n-w{\Vert }^2+\Vert v_m-w{\Vert }^2)-\Vert (v_n-w)+(v_m-w){\Vert }^2=2(\Vert v_n-w{\Vert }^2+\Vert v_m-w{\Vert }^2)-\Vert v_n+v_m-2w{\Vert }^2=2(\Vert v_n-w{\Vert }^2+\Vert v_m-w{\Vert }^2)-4\Vert (v_n+v_m)/2-w{\Vert }^2$。

任意の$0<ϵ$に対して、以下を満たすある$N\in \mathbb{N}$、つまり、各$N<m,n$に対して、$\Vert v_m-w{\Vert }^2,\Vert v_n-w{\Vert }^2<d^2+{ϵ}^2/4$、がある。

$(v_n+v_m)/2\in C$、なぜなら、$C$はコンベックス（凸）である、したがって、$d\le \Vert (v_n+v_m)/2-w\Vert$。

したがって、$\Vert v_n-v_m{\Vert }^2=2(\Vert v_n-w{\Vert }^2+\Vert v_m-w{\Vert }^2)-4\Vert (v_n+v_m)/2-w{\Vert }^2<2(2(d^2+{ϵ}^2/4))-4d^2={ϵ}^2$。

したがって、当該ポイントたちシーケンス（列）はコーシーシーケンス（列）である。

ステップ4:

$V$はコンプリート（完備）であるから、当該シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）$v_0\in V$がある。

$v_0$は$C$のアキュームレーションポイント（集積ポイント）である、なぜなら、$v_0$の周りの各オープンボール（開球）に対して、ある$v_j\in C$で当該オープンボール（開球）内に包含されているものがある、なぜなら、当該シーケンス（列）は$v_0$へコンバージ（収束）する。

任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって、$v_0$は$C$のクロージャー（閉包）上にある、しかし、$C$のクロージャー（閉包）は$C$である、なぜなら、$C$はクローズド（閉）である。

したがって、$v_0\in C$。

ステップ5:

ディスタンス（距離）マップ（写像）$dist(w,v):V\to \mathbb{R}$の$w$を固定したものはコンティニュアス（連続）マップ（写像）である、メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して、という命題および任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。

$dist(w,v_1),dist(w,v_2),...$は$d$へコンバージ（収束）するので、$dist(w,v_0)=d$、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットで当該ドメイン（定義域）上の任意のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、当該ネットのイメージ（像）は当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、当該コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、当該ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントのイメージ（像）であるという命題によって。

したがって、以下を満たす少なくとも1個の$v_0\in C$、つまり、$dist(w,v_0)=inf\{dist(w,v)|v\in C\}$、がある。

ステップ6:

$C$上に$w$へのディスタンス（距離）が$d$であるポイントは他にないことを見よう。

以下を満たす別の$v_0^{\prime }\in C$、つまり、$dist(w,v_0^{\prime })=d$、があったと仮定しよう。

$\Vert v_0-v_0^{\prime }\Vert =\Vert (v_0-w)-(v_0^{\prime }-w)\Vert$。

ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則によって、$\Vert (v_0-w)-(v_0^{\prime }-w){\Vert }^2=2(\Vert v_0-w{\Vert }^2+\Vert v_0^{\prime }-w{\Vert }^2)-\Vert (v_0-w)+(v_0^{\prime }-w){\Vert }^2=2(\Vert v_0-w{\Vert }^2+\Vert v_0^{\prime }-w{\Vert }^2)-\Vert (v_0+v_0^{\prime })-2w{\Vert }^2=2(\Vert v_0-w{\Vert }^2+\Vert v_0^{\prime }-w{\Vert }^2)-4\Vert (v_0+v_0^{\prime })/2-w{\Vert }^2$、しかし、$\Vert v_0-w\Vert =dist(w,v_0)=d$、$\Vert v_0^{\prime }-w\Vert =dist(w,v_0^{\prime })=d$、そして、$(v_0+v_0^{\prime })/2\in C$であるから、$d\le \Vert (v_0+v_0^{\prime })/2-w\Vert$、したがって、$\le 2(2d^2)-4d^2=0$、それが含意するのは、$\Vert (v_0-w)-(v_0^{\prime }-w){\Vert }^2=0$、それが含意するのは、$v_0=v_0^{\prime }$。

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参考資料

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