ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義
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About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）なフィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle: V \times V \to F\)を持つもの
\( S\): \(\in \{V \text{ の全てのカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）たち }\}\), \(= \{s_1, s_2, ...\}\)
\(*\widetilde{S}\): \(\in \{V \text{ の全てのカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）たち }\}\)、\(= \{b_1, b_2, ...\}\)、下で指定されるとおり
//
コンディションたち:
\(b_n\)はイテレティブ（帰納的）に定義される:
\(\{\}\)は既に\(\{\}\)から決定されている
\(\{b_1, ..., b_{n - 1}\}\)は既に\(\{s_1, ..., s_{n'}\}\)から決定されていると仮定する
以下を満たす最小\(\{s_1, ..., s_{n''}\}\)、つまり、\(\{b_1, ..., b_{n - 1}, s_{n''}\}\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である、がある時、\(b_n := (s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j) / \Vert s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert\)、そして、\(\{b_1, ..., b_n\}\)は\(\{s_1, ..., s_{n''}\}\)から決定された
そうでなければ、当該イテレーション（帰納）は終了し、\(\widetilde{S} := \{b_1, ..., b_{n - 1}\}\)
//
"カウンタブル（可算）"は、それがインフィニット（無限）であることを意味しない: 任意のファイナイト（有限）セット（集合）はカウンタブル（可算）である。
2: 注
しばしば、\(S\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であると仮定される、しかし、本定義は、\(S\)がリニアにインディペンデント（線形独立）であるよう要求しない。
\(\widetilde{S}\)はオーソノーマル（正規直交）であることを見よう、イテレティブ（帰納的）に。
\(\{b_1\}\)に対して、\(\langle b_1, b_1 \rangle = \langle s_{n''} / \Vert s_{n''} \Vert, s_{n''} / \Vert s_{n''} \Vert \rangle = 1 / \Vert s_{n''} \Vert^2 \langle s_{n''}, s_{n''} \rangle = 1 / \Vert s_{n''} \Vert^2 \Vert s_{n''} \Vert^2 = 1\)。
したがって、\(\{b_1\}\)はオーソノーマル（正規直交）である。
\(\{b_1, b_2\}\)に対して、\(\langle b_1, b_2 \rangle = \langle b_1, (s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j) / \Vert s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert \rangle = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert \langle b_1, (s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j) \rangle = 1 / \Vert s_{n''} - \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert (\langle b_1, s_{n''} \rangle - \overline{\langle s_{n''}, b_1 \rangle} \langle b_1, b_1\rangle) = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert (\langle b_1, s_{n''} \rangle - \overline{\langle s_{n''}, b_1 \rangle} 1) = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert (\langle b_1, s_{n''} \rangle - \overline{\langle s_{n''}, b_1 \rangle}) = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert (\langle b_1, s_{n''} \rangle - \langle b_1, s_{n''} \rangle) = 0\)。
\(\langle b_2, b_2 \rangle = \langle (s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j) / \Vert s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert, (s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j) / \Vert s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert \rangle = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert^2 \langle s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j, s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \rangle = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert^2 \Vert s_{n''} - \sum^1_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert^2 = 1\)。
したがって、\(\{b_1, b_2\}\)はオーソノーマル（正規直交）である。
\(\{b_1, ..., b_{n - 1}\}\)はオーソノーマル（正規直交）であると仮定しよう。
\(\{b_1, ..., b_n\}\)に対して、各\(1 \le l \le n - 1\)に対して、\(\langle b_l, b_n \rangle = \langle b_l, (s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j) / \Vert s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert \rangle = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert \langle b_l, s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \rangle = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert (\langle b_l, s_{n''} \rangle - \sum^{n - 1}_{j = 1} \overline{\langle s_{n''}, b_j \rangle} \langle b_l, b_j \rangle) = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert (\langle b_l, s_{n''} \rangle - \sum^{n - 1}_{j = 1} \overline{\langle s_{n''}, b_j \rangle} \delta_{l, j}) = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert (\langle b_l, s_{n''} \rangle - \overline{\langle s_{n''}, b_l \rangle}) = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert (\langle b_l, s_{n''} \rangle - \langle b_l, s_{n''} \rangle) = 0\)。
\(\langle b_n, b_n \rangle = \langle (s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j) / \Vert s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert, (s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j) / \Vert s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert \rangle = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert^2 \langle s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j, s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \rangle = 1 / \Vert s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert^2 \Vert s_{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} \langle s_{n''}, b_j \rangle b_j \Vert^2 = 1\)。
したがって、\(\{b_1, ..., b_n\}\)はオーソノーマル（正規直交）である。
そこで、\(b_l, b_m \in \widetilde{S}\)を\(l \neq m\)である任意のものとしよう。
\(l \lt m\)であるとしよう、一般性を失わうことなく。
したがって、\(b_l, b_m \in \{b_1, ..., b_m\}\)。
\(\{b_1, ..., b_m\}\)はオーソノーマル（正規直交）であるから、\(\langle b_l, b_m \rangle = 0\)。
\(\langle b_l, b_l \rangle = 1\)。
