ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものおよびベクトルたちサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）へノーマル（垂直）であるベクトルたちのセット（集合）はコンプリメンタリー（補）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものおよび任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）へノーマル（垂直）であるベクトルたちのセット（集合）はコンプリメンタリー（補）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）なフィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } d' \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持つもの
\(V\): \(\in \{V' \text{ の全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(= \{s \in V' \vert \forall v \in V (\langle s, v \rangle = 0)\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{V' \text{ の全ての } (d' - d) \text{ -ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V\)に対するあるオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）を取り、それを拡張して\(V'\)に対するあるオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）とし、\(S\)は\(V\)ベーシス（基底）のコンプリメンタリー（補）要素たちによってスパンされる（張られる）ベクトルたちサブスペース（部分空間）に他ならないことを見る。
ステップ1:
\(V\)は\(d\)-ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であるから、\(V\)に対するあるベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_d\}\)がある。
\(B\)は、\(V'\)に対するインナープロダクト（内積）に関してオーソノーマル化して\(\widetilde{B} = \{\widetilde{b_1}, ..., \widetilde{b_d}\}\)にできる、グラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）によって: \(\widetilde{b_1} = b_1 / \sqrt{\langle b_1, b_1 \rangle}\); \(\widetilde{b_2} = (b_2 - \langle b_2, \widetilde{b_1} \rangle \widetilde{b_1}) / \sqrt{\langle b_2 - \langle b_2, \widetilde{b_1} \rangle \widetilde{b_1}, b_2 - \langle b_2, \widetilde{b_1} \rangle \widetilde{b_1} \rangle}\); ...。
\(\widetilde{B}\)は\(V'\)上でリニアにインディペンデント（線形独立）である: もしも、\(v^j \widetilde{b_j} = 0\)が全ては0でない\(\{v^1, ..., v^d\} \subseteq F\)を持っていたら、\(\widetilde{B}\)は\(V\)上でリニアにインディペンデント（線形独立）でないことになる。
\(\widetilde{B}\)は、\(V'\)に対するあるベーシス（基底）\(B' = \{\widetilde{b_1}, ..., \widetilde{b_d}, b_{d + 1}, ..., b_{d'}\}\)であるように拡張できる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題によって。
\(B'\)はオーソノーマル（正規直交）化して\(\widetilde{B'} = \{\widetilde{b_1}, ..., \widetilde{b_d}, \widetilde{b_{d + 1}}, ..., \widetilde{b_{d'}}\}\)にできる、グラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）によって: \(\widetilde{B}\)部分は当該オーソノーマライゼーション（正規直交化）によって変更されない。
さて、\(\{\widetilde{b_{d + 1}}, ..., \widetilde{b_{d'}}\}\)によってスパンされる（張られる）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(W\)は\(S\)に他ならないことを見よう。
各\(s \in S\)に対して、\(s = \sum_{j \in \{1, ..., d'\}} s^j \widetilde{b_j}\)、なぜなら、\(s \in V'\)。しかし、各\(l \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(\langle s, \widetilde{b_l}\rangle = 0\)、ここで、左辺は\(\langle \sum_{j \in \{1, ..., d'\}} s^j \widetilde{b_j}, \widetilde{b_l}\rangle = \sum_{j \in \{1, ..., d'\}} s^j \langle\widetilde{b_j}, \widetilde{b_l}\rangle = \sum_{j \in \{1, ..., d'\}} s^j \delta_{j, l} = s_l\)。したがって、\(s^l = 0\)、それが意味するのは、\(s \in W\)。
各\(w \in W\)に対して、\(w = \sum_{j \in \{d + 1, ..., d'\}} w^j \widetilde{b_j}\)。各\(v \in V\)に対して、\(v = \sum_{l \in \{1, ..., d\}} v^l \widetilde{b_l}\)、そして、\(\langle w, v \rangle = \langle \sum_{j \in \{d + 1, ..., d'\}} w^j \widetilde{b_j}, \sum_{l \in \{1, ..., d\}} v^l \widetilde{b_j} \rangle = \sum_{j \in \{d + 1, ..., d'\}} w^j \sum_{l \in \{1, ..., d\}} \overline{v^l} \langle \widetilde{b_j}, \widetilde{b_l} \rangle = 0\)、それが意味するのは、\(w \in S\)。
したがって、\(S = W\)、\(V'\)の\((d' - d)\)-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）でベーシス（基底）\(\widetilde{B'} \setminus \widetilde{B}\)を持つもの。
