ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つものからノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中へのリニアマップ（線形写像）はバウンデッド（有界）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つものから任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中への任意のリニアマップ（線形写像）はバウンデッド（有界）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_1\)を持つもの
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert_2\)を持つもの
\(*f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのバウンデッド（有界）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V_1\)に対する任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(\{b_1, ..., b_d\}\)を取る; ステップ2: \(\Vert f (v^j b_j) \Vert_2\)を評価する。
ステップ1:
\(V_1\)は当該インナープロダクト（内積）を持つので、\(V_1\)に対するあるオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(\{b_1, ..., b_d\}\)がある: 任意のベーシス（基底）\(\{b'_1, ..., b'_d\}\)を取り、グラム - シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）を行なう: \(b_1 := 1 / \sqrt{\langle b'_1, b'_1 \rangle} b'_1\); \(b_2 := 1 / \sqrt{\langle b'_2 - \langle b'_2, b_1 \rangle b_1, b'_2 - \langle b'_2, b_1 \rangle b_1 \rangle} (b'_2 - \langle b'_2, b_1 \rangle b_1)\); \(b_3 = 1 / \sqrt{\langle b'_3 - \langle b'_3, b_1 \rangle b_1 - \langle b'_3, b_2 \rangle b_2, b'_3 - \langle b'_3, b_1 \rangle b_1 - \langle b'_3, b_2 \rangle b_2 \rangle} (b'_3 - \langle b'_3, b_1 \rangle b_1 - \langle b'_3, b_2 \rangle b_2)\); ...。
ステップ2:
\(v = v^j b_j\)を任意のものとしよう。
\(\Vert v \Vert_1^2 = \langle v^j b_j, v^j b_j \rangle = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert^2\)。
\(\Vert f (v^j b_j) \Vert_2 = \Vert v^j f (b_j) \Vert_2 \le \vert v^j \vert \Vert f (b_j) \Vert_2\)。
\(c := max \{\Vert f (b_j) \Vert_2\}\)としよう。
\(\Vert f (v^j b_j) \Vert_2 \le \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert c\)。
\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert^2 \le \Vert v \Vert_1^2\)であるから、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert \le d \Vert v \Vert_1\)、任意の\(n\)個の非負ナンバー（数字）の2乗たちの合計が任意の非負ナンバー（数字）の2乗に等しいかそれより小さい時、当該ナンバー（数字）たちの合計は当該ナンバー（数字）の\(n\)倍に等しいかそれより小さいという命題によって。
したがって、\(\Vert f (v^j b_j) \Vert_2 \le d \Vert v \Vert_1 c = d c \Vert v \Vert_1\)。
\(d c\)は\(v\)に依存しないあるコンスタント（定数）であるから、\(f\)はバウンデッド（有界）である。
3: 注
本命題は、\(\Vert \bullet \Vert_2\)がインナープロダクト（内積）からインデュースト（誘導された）であることを要求しない、"証明"が示しているとおり。
本命題は、\(\Vert \bullet \Vert_1\)があるインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）であることを要求する、なぜなら、そうでなければ、オーソノーマル（正規直交）であることは意味をなさない。
