ノルム付きベクトルたちスペース（空間）間のバウンデッド（有界）マップ（写像）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）間のバウンデッド（有界）マップ（写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F_1\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( F_2\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F_1 \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert_1\)を持つもの
\( V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F_2 \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert_2\)を持つもの
\(*f\): \(: V_1 \to V_2\)
//
コンディションたち:
\(\exists c \in \mathbb{R} (\forall v_1 \in V_1 (\Vert f (v_1) \Vert_2 \le c \Vert v_1 \Vert_1))\)
//
2: 注
\(F_1 \neq F_2\)は許される。
\(f\)はリニア（線形）である必要はない。
\(f\)がリニア（線形）であることは、\(f\)がバウンデッド（有界）であることを保証しない: 各ユニット（単位）ベクトル\(u \in V_1\)に対して、\(\Vert f (r u) \Vert_2 = \Vert r f (u) \Vert_2 = \vert r \vert \Vert f (u) \Vert_2 = \vert r \vert \Vert u \Vert_1 / \Vert u \Vert_1 \Vert f (u) \Vert_2 = \Vert r u \Vert_1 \Vert f (u) \Vert_2 \le c_u \Vert r u \Vert_1\)、ここで、\(c_u := \Vert f (u) \Vert_2\)、しかし、\(c_u\)は\(u\)に依存し、\(u\)に依存しないある共通の\(c\)があるという保証はない。
任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つものから任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中への任意のリニアマップ（線形写像）はバウンデッド（有界）であるという命題を参照のこと。
