サブセット（部分集合）のコンティニュアス（連続）マップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に包含されるが、必ずしもそれに等しくないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）の任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、クローズドサブセット（閉部分集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）は、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に包含されるが、必ずしもそれに等しくないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{f^{-1} (S)} \subseteq f^{-1} (\overline{S})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f^{-1} (S) \subseteq f^{-1} (\overline{S})\)であり、\(f^{-1} (\overline{S}) \subseteq T_1\)はクローズド（閉）であることを見て、クロージャー（閉包）の定義のことを考えて、\(\overline{f^{-1} (S)} \subseteq f^{-1} (\overline{S})\)であることを見る; ステップ2: \(\overline{f^{-1} (S)} \subset f^{-1} (\overline{S})\)である例を見る。
ステップ1:
\(f^{-1} (S) \subseteq f^{-1} (\overline{S})\)、明らかに。
\(f^{-1} (\overline{S})\)はクローズド（閉）である、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）の任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、クローズドサブセット（閉部分集合）であるという命題によって。
\(\overline{f^{-1} (S)}\)は、\(f^{-1} (S)\)を包含する最小クローズドサブセット（閉部分集合）である、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義によって、\(\overline{f^{-1} (S)} \subseteq f^{-1} (\overline{S})\)、なぜなら、右辺はそうしたクローズドサブセット（閉部分集合）たちの内の1つである。
ステップ2:
等号が成立しない1例として、\(T_1\)を\(\mathbb{R}\)でディスクリートトポロジーを持つもの、\(T_2\)を\(\mathbb{R}\)でユークリディアントポロジーを持つもの、\(f\)をアイデンティティマップ（恒等写像）、\(S\)を\((0, 1)\)としよう。\(f\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、任意のオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）はオープン（開）である。\(\overline{f^{-1} (S)} = (0, 1)\)、なぜなら、\([1, \infty)\)および\((- \infty, 0]\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、その一方で、\(f^{-1} (\overline{S}) = [0, 1]\)、したがって、\(\overline{f^{-1} (S)} \subset f^{-1} (\overline{S})\)。
