'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）は、ベーシス（基底）をベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップしマッピングをリニア（線形）に拡張するマップ（写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）は、任意のベーシス（基底）をあるベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張するマップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(B_1\): \(= \{{b_1}_j \vert j \in J\}\), \(\in \{V_1 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B_2 := f (B_1) \in \{V_2 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(\land\)
\(f \vert_{B_1}: B_1 \to B_2 \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
\(\land\)
\(\forall v \in V_1 (\exists S \in \{J \text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\} (v = \sum_{j \in S} v^j {b_1}_j) \land f (v) = \sum_{j \in S} v^j f ({b_1}_j))\)
//
2: 注
\(V_1\)および\(V_2\)の各々はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要はない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (B_1)\)は\(V_2\)に対するベーシス（基底）であることを見る、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題によって; ステップ2: \(f \vert_{B_1}: B_1 \to B_2\)はバイジェクション（全単射）であることを見る; ステップ3: 各\(v \in V_1\)に対して、\(v = \sum_{j \in S} v^j {b_1}_j\)、あるファイナイト（有限）\(S \subseteq J\)に対して、そして、\(f (v) = \sum_{j \in S} v^j f ({b_1}_j)\)であることを見る。
ステップ1:
\(B_2 := f (B_1)\)は\(V_2\)に対するベーシス（基底）である、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題によって。
ステップ2:
\(f \vert_{B_1}: B_1 \to B_2\)はインジェクション（単射）である、なぜなら、\(f\)はインジェクション（単射）である。
\(f \vert_{B_1}: B_1 \to B_2\)はサージェクション（全射）である、なぜなら、\(B_2 = f (B_1)\)。
したがって、\(f \vert_{B_1}: B_1 \to B_2\)はバイジェクション（全単射）である。
ステップ3:
\(v \in V_1\)を任意のものとしよう。
\(v = \sum_{j \in S} v^j {b_1}_j\)、あるファイナイト（有限）\(S \subseteq J\)に対して、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義によって。
\(f (v) = \sum_{j \in S} v^j f ({b_1}_j)\)、なぜなら、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はリニア（線形）である。
