"サイズと方向の両方を持つ量"？しかし、'サイズ'や'方向'って何だ？実のところ、ベクトルとはあるベクトルたち空間の要素のことである、それは、同語反復ではない。
話題
About: 高校数学
この記事の目次
- 開始コンテキスト
- ターゲットコンテキスト
- オリエンテーション
- 本体
- 1: ベクトルとは、"サイズと方向の両方を持つ量"のこと？
- 2: 出よ、'スカラー積'！
- 3: ベクトルはあるベクトルたち空間の要素である
- 4: 'サイズ'が本当に意味すること
- 5: 実数たちの全てのn-タプル（n個要素たちの順序付き組）たちのセット（集合）はどのようにあるベクトルたち空間に関係しているか？
- 6: あるベクトルたち空間の次元とは何か？
開始コンテキスト
- 読者は、本サイトの背景を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルとは何であるかを知る。
オリエンテーション
真実たちの導管であることによって人間性の庇護者になることに関する記事がある。
セット（集合）の定義とラッセルの"パラドックス"についての記事がある。
本体
1: ベクトルとは、"サイズと方向の両方を持つ量"のこと？
Special-Student-7-Hypothesizer
'ベクトル'の最も広く流布している荒い定義は、"サイズと方向の両方を持つ任意の量"であるようだ。
Special-Student-7-Rebutter
それは、"サイズ"および"方向"が定義されていない限り妥当な定義ではない。
Special-Student-7-Hypothesizer
'サイズ'とは、... サイズのことだよ、知っているだろう。
Special-Student-7-Rebutter
私は知らないな、実のところ。
ある本の'サイズ'って何だ？長さか？幅か？厚さか？重みか？ページ数か？単語数か？その中に包含されている情報量か？価格か？それとも何だ？というか、なぜ私はそれを42であると宣言できないのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
君ができないという理由を知らないな: もしも、君がサイズは42であると定義したなら、サイズは42であるはずだ。
Special-Student-7-Rebutter
すると、"サイズを持つ"が何を意味しているのか私には理解できない、なぜなら、どんなものでも"サイズを持つ"とみなすことができる、それは"サイズ42"を持つと私たちがみなしさえすれば。
Special-Student-7-Hypothesizer
それは正しいように思われる。
Special-Student-7-Rebutter
それで、'方向'とは何だ？
Special-Student-7-Hypothesizer
通常の3-次元空間においては、何が'方向'であるかを君は知っている。
Special-Student-7-Rebutter
通常の3-次元空間というケースに対しては、イエス、私は何らかの直感を持っている、しかし、それは一般的な定義ではない。
Special-Student-7-Hypothesizer
えーと、当該量が、4個の実数たちのコンビネーション（(1.3, 2.5, 0.9, 4.2)のような）である時、方向とは、4個の数たちの比率である: (1.3, 2.5, 0.9, 4.2)と(1.3 * 2, 2.5 * 2, 0.9 * 2, 4.2 * 2)は同じ方向を持つ。
Special-Student-7-Rebutter
任意のベクトルは常にいくつかの実数たちのコンビネーションなのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
そうではない。
Special-Student-7-Rebutter
それでは、それは単に1つの例であって、一般的な定義ではない。
Special-Student-7-Hypothesizer
そのとおりだ。
2: 出よ、'スカラー積'！
Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、'スカラー積'を導入する必要がある、'方向'について話し始めるためには。
あるスカラーたちセット（集合）を導入する、それは、あるフィールド（体）である、そして、スカラー積を導入する、それが意味するのは、あるベクトルに当該スカラーたちセット（集合）のある要素を掛けて、あるベクトルを得ることである。
任意のフィールド（体）は、とても荒く言うと、四則演算(+, -, *, /)を許すある構造であり、典型的な例は、実数たちセット（集合）\(\mathbb{R}\)である。
単に単純化のために、本記事内では、スカラーたちセット（集合）は常に実数たちセット（集合）であると仮定しよう、そうでないと指定されない限り。
任意のベクトルvに任意の実数rを掛けることができ、結果はr vである。
上記例においては、v = (1.3, 2.5, 0.9, 4.2)、r = 2、r v = (1.3 * 2, 2.5 * 2, 0.9 * 2, 4.2 * 2)。
そして、任意の固定されたvに対して、任意のrによるr vは同一方向を持つ。
他方で、何らかの2個のベクトルたちvおよびv'に対して、もしも、v' = r vであるようなrがなければ、vとv'は異なる方向たちを持つ。
任意の方向は、以下を満たす同値関係、つまり、v ~ v'であるのは、v = r v'である場合、そしてその場合に限る、に関するベクトルたち同値クラスであると言える。
Special-Student-7-Rebutter
r < 0である時、vとr vは同一方向を持つのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
えーと、それは当該単語の定義の問題であるが、私たちは、それらは同一方向を持つと言うことができる、一方で、口語上は、それらは通常"逆方向たち"を持つと言われる（それを"逆方向たち"と呼ぶことの問題は、当該スカラーたちセット（集合）は必ずしも実数たちセット（集合）ではなく、当該スカラーたちセット（集合）は必ずしも"プラス"か"マイナス"かの概念を持たないこと）。
3: ベクトルはあるベクトルたち空間の要素である
Special-Student-7-Rebutter
いずれにせよ、1つの教訓は、ある単一のオブジェクトがそれ単独として方向を持つかどうか語ることには意味がないということ: 私たちは、オブジェクトたちのある空間でその上にスカラー積が定義されているもののことを考える必要があり、当該空間を同値クラスたちに分割することによってのみ、方向という概念は発生する。
最初に当該空間を定義することなしに、あるオブジェクトが"方向を持つ"かどうか語ることはできない、したがって、ある単一オブジェクトがそれ単独としてベクトルであるかどうか語ることは意味がない。
Special-Student-7-Hypothesizer
したがって、ベクトルとはあるベクトルたち空間の要素のことであると、私たちは言う。
それは同語反復であるという人がいるかもしれないが、違う、私たちは、最初にある空間を定義し、当該空間をベクトルたち空間と呼び、次に、当該空間のある要素が"ベクトル"と呼ばれるのだ。
ベクトルたちスペース（空間）の厳格な定義はここにある。
Special-Student-7-Rebutter
本思考形態は重要である、なぜなら、それは数学内に広く流布している。
例えば、数学は、グループ（群）たち、リング（環）たち、フィールド（体）たち、モジュール（加群）たち、等のような空間たち（または"構造たち"と呼ばれる）について語るが、グループ（群）要素はあるグループ（群）の要素である: あるグループ（群）要素をそれ単独として語ることは意味がない。
広く流布しているパターンとして、私たちは、あるセット（集合）を取り、当該セット（集合）上にいくつかのオペレーションたちでいくつかのルールたちを満たすものたちを取り、当該オペレーションたちを持つ当該セット（集合）が空間（構造）である。
'ベクトルたち空間'はそういった空間たちの内の1つであり、ベクトルはそういうある空間の要素である。
4: 'サイズ'が本当に意味すること
Special-Student-7-Rebutter
上記厳格な定義は'サイズ'について全く言及しないが。
Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、ベクトルは絶対的なサイズを持つ必要はない。
Special-Student-7-Rebutter
"絶対的なサイズ"とはどういう意味か？
Special-Student-7-Hypothesizer
非ゼロベクトルvおよびある正スカラーrに対して、r vの"サイズ"はvの"サイズ"のr-倍であると言うことはできるかもしれない。
したがって、同じ方向の何らかの2ベクトルたちの相対的なサイズたちについて語ることはできるかもしれない、しかし、異なる方向の何らかの2ベクトルたちのサイズたちを比較することは一般的には意味がない。
例えば、あるベクトルたち空間でその中では任意の要素はあるオブジェクトの長さ（cm）と重さ（kg）の組であるもののことを考える。
Special-Student-7-Rebutter
厳密に言うと、それはベクトルたち空間ではない、なぜなら、任意のベクトルの各負スカラー積は当該空間内に存在しなければならない。
Special-Student-7-Hypothesizer
それでは、2個の長さたちの差たちと2個の重さたちの差たちのことを考える、それらは、負になりえる。
Special-Student-7-Rebutter
分かった。
Special-Student-7-Hypothesizer
あるベクトル(180, 70)のサイズには意味があるか？
Special-Student-7-Rebutter
私は、個人的には、それほど意味があるとは思わない。
Special-Student-7-Hypothesizer
それに、(185, 65)と(175, 75)ではどちらが大きいか？
Special-Student-7-Rebutter
ある人は、(175, 75) < (185, 65)と言うかもしれない、長さの方がより重要だと主張して、別の人は、(185, 65) < (175, 75)と言うかもしれない、重さの方がより重要だと主張して、また別の人は、\(185^2 + 65^2\)と\(175^2 + 75^2\)を比較するかもしれない、私は、個人的には、\(185^2 + 65^2\)に特に意味があるとは信じないが（例えば、長さを代わりにmmで取れば、比較は変わるかもしれない）。
Special-Student-7-Hypothesizer
または、最高n-次実多項式たちのセット（集合）は、カノニカル（正典）にあるベクトルたち空間を構成するが、ある多項式の"サイズ"とは何だ？
Special-Student-7-Rebutter
君は、ある"サイズ"を、例えば、係数の2乗たちの合計の2乗根としてとか、n-次係数の絶対値としてとか、一貫して42としてとか、定義することはできるかもしれない（なぜいけない？）。
Special-Student-7-Hypothesizer
あるベクトルは一般に内在的な"サイズ"など持たない、もしも、同じ方向の何らかの2ベクトルたちのサイズたちを比較することができたとしてもだ。
Special-Student-7-Rebutter
当該スカラーたちセット（集合）が実数たちセット（集合）でなかったらどうなるのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
その場合、同じ方向の何らかの2ベクトルたちの相対的サイズたちについて語ることも意味がないかもしれない。
Special-Student-7-Rebutter
それでは、"サイズと方向の両方を持つ任意の量"は何を意味するのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
"サイズを持つ"は、あるベクトルはスカラーたちを掛けられて同じ方向の異なるベクトルたちになることができることを意味するように思われる。
Special-Student-7-Rebutter
'ノルム'という概念があるが、'ノルム'と上記で言及された意味における"サイズ"とを混同しないように注意する必要がある。
Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、大抵の場合に意味される"サイズ"は本当は'ノルム'である、しかし、あるベクトルたち空間はノルムが装備されている必要がない。
私が想像するに、"サイズと方向の両方を持つ任意の量"の中の"サイズ"は、広く'ノルム'として理解されているが、その意味においては、"ベクトルとはサイズと方向の両方を持つ任意の量のことである"は誤っている。
5: 実数たちの全てのn-タプル（n個要素たちの順序付き組）たちのセット（集合）はどのようにあるベクトルたち空間に関係しているか？
Special-Student-7-Hypothesizer
ある人は、任意のn-次元実ベクトルたち空間は、実数たちの全てのn-タプル（n個要素たちの順序付き組）たちのセット（集合）に他ならないと考えているかもしれない。
それは厳密には真ではない、任意のn-次元ベクトルたち空間は、実数たちの全てのn-タプル（n個要素たちの順序付き組）たちのセット（集合）によって代表することが可能であるが。
Special-Student-7-Rebutter
"代表する"というのはどういう意味か？
Special-Student-7-Hypothesizer
任意のn-次元実ベクトルたち空間はn要素たちを持つあるベーシス（基底）\({b_1, ..., b_n}\)を持ち、各ベクトルvは当該ベーシス（基底）要素たちのある線形結合\(v = v^1 b_1 + ... + v^n b_n\)として表わすことができ、当該ベクトルは当該係数たちのn-タプル\((v^1, ..., v^n)\)によって代表することができる。
"代表する"が意味するのは、当該ベクトルたち空間から実数たちの全てのn-タプル（n個要素たちの順序付き組）たちのセット（集合）の上への当該1-対-1（全単射）線形マッピングがあるということ（テクニカルには、それは、当該ベクトルたち空間は実数たちの全てのn-タプル（n個要素たちの順序付き組）たちのセット（集合）をベクトルたち空間とみなしたものへ'ベクトルたち空間たち - 線形射たち'アイソモーフィック（同形写像）である、と呼ばれる）。
Special-Student-7-Rebutter
なぜ、任意のn-次元実ベクトルたち空間は実数たちの全てのn-タプル（n個要素たちの順序付き組）たちのセット（集合）に他ならないかのように言う人がいるのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
2個のベクトルたち空間たちが'ベクトルたち空間たち - 線形射たち'アイソモーフィック（同形写像）であるということが意味するのは、当該2個のベクトルたち空間たちはベクトルたち空間たちとして同じ構造を持っているということであり、当該2個のベクトルたち空間たちは、ベクトルたち空間オペレーションたちに関する限り同じように扱うことができる。
Special-Student-7-Rebutter
"同じように扱うことができる"は、当該2個の実体たちが同一の実体であることを意味しない。
Special-Student-7-Hypothesizer
その通り、しかし、一部の人々は、"当該2個の空間たちは同じである"というような言葉遣いを好む、なぜなら、多分、そうした言葉遣いは表現たちの何らかの省力化をもたらす、なぜなら、表現たちは当該2個のものたちを区別しなくてよくなる、しかし、コアにおいては、当該2個の空間たちは異なるものたちであることを意識しておく必要がある。
例えば、あるベクトルの、ベーシス（基底）たちの交換に関するコンポーネントたちの変換を考える時、いかなる表現からも独立したベクトルたち空間の存在を理解しない限り、当該概念は意味をなさない: いかなる表現からも独立したベクトルたち空間があるから、ある表現から当該ベクトルたち空間へ戻り、当該ベクトルたち空間から別の表現へと行くのである。
'代表されるもの'と'代表'を区別できないというのは、かなり広く見られる深刻な問題であるよう思われる。
6: あるベクトルたち空間の次元とは何か？
Special-Student-7-Rebutter
"n-次元実ベクトルたち空間"について話してきたが、あるベクトルたち空間の'次元'とは何か？
Special-Student-7-Hypothesizer
任意のベクトルたち空間の'次元'とは、当該ベクトルたち空間に対する任意のベーシス（基底）の要素数に他ならない。
Special-Student-7-Rebutter
そもそも、どのベクトルたち空間もあるベーシス（基底）を持つのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、あなたは、もしも、その疑問を抱かなかったら、本当には数学を学んではいない。
そして、答えはイエスだ、証明をここでは示さないが。
Special-Student-7-Rebutter
そして、あるベクトルたち空間の全ての可能なベーシス（基底）たちは同一数の要素たちを持つのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
その疑問も、もしも、あなたが抱かなかったら、あなたは本当には数学を学んではいないというものだ。
そして、答えはイエスだ、証明をここでは示さないが。
あるベクトルたち空間は無限次元かもしれないということを知っておこう。
Special-Student-7-Rebutter
それはどういう意味か？
Special-Student-7-Hypothesizer
それが意味するのは、勿論、当該ベクトルたち空間に対する任意のベーシス（基底）の要素たちの数が無限だということであるが、しかし、注意として、それは、あるベクトルがベーシス（基底）要素たちのある無限線形結合として表わされることを意味しない: 任意のベクトルはベーシス（基底）要素たちの有限線形結合として表現される。
Special-Student-7-Rebutter
それでは、なぜ、当該ベーシス（基底）は無限数の要素たちを必要とするのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
あるベクトルは有限数のベーシス（基底）要素たちのあるセット（集合）の線形結合であり、別のベクトルは有限数のベーシス（基底）要素たちの別のセット（集合）の線形結合であり、どのベクトルも有限数のベーシス（基底）要素たちのそれ自身のセット（集合）の線形結合であるためには、当該ベーシス（基底）は無限数の要素たちを必要とする。
Special-Student-7-Rebutter
通常、私たちの周りの空間は3次元であると言われるが、それは、当該空間は3-次元ベクトルたち空間であることを意味するのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
当該時空は4-次元であると言われている事実を別にしても、厳密に言うと、ノー、当該空間は3-次元ベクトルたち空間ではない、その理由は、当該空間は有界であると言われていること。
Special-Student-7-Rebutter
ああ、すると、次元は別にしても、当該空間は、ベクトル空間でさえない。
Special-Student-7-Hypothesizer
当該空間（または時空）はマニフォールド（多様体）としてモデルされており、マニフォールド（多様体）の次元は別の定義を持つ、それは、ベクトルたち空間の次元と何らかの関係があるが。
